Центр тяжести (центр масс)
Точка P – центр тяжести системы двух материальных точек P1, P2 с массами m1, m2 делит отрезок P1P2 в отношении, обратном отношению масс: .
Центр тяжести системы материальных точек P1, P2,¼ с массами m1, m2,¼ – точка С, радиус-вектор которой
Центр тяжести однородного отрезка – его середина, масса отрезка пропорциональна его длине. Пусть имеется система однородных отрезков с длинами L1, L2,¼ и центрами тяжести C1, C2,¼ Заменив каждый отрезок материальной точкой, расположенной в его центре тяжести, сведем задачу к задаче о центре тяжести системы материальных точек.
Центр тяжести однородного прямоугольника – его геометрический центр (точка пересечения диагоналей, она же точка пересечения средних линий). Центр тяжести однородного треугольника – точка пересечения медиан. Пусть имеется пластинка, которую можно разбить на несколько фигур с площадями S1, S2,¼и центрами тяжести C1, C2,¼ Заменив каждую фигуру материальной точкой, расположенной в центре тяжести и имеющей массу, пропорциональную площади, сведем задачу к задаче о центре тяжести системы материальных точек.
Решение задач
Р 2.1. (Мод 109) Даны две вершины треугольника ABC: A(–4,–1,2) и B(3,5,–16). Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на оси Oy, а середина стороны BC – на плоскости Oxz.
Решение. Пусть координаты третьей вершины C(x,y,z), тогда координаты середины стороны AC суть , , . По условию эта точка лежит на оси Oy, поэтому , , откуда y = 4, z = –2. Координаты середины стороны BC суть , , . По условию эта точка лежит на плоскости Oxz, поэтому , откуда y = –5. Таким образом, имеем C(4,–5,–2).
Р 2.2. Найти точку M пересечения медиан треугольника ABC.
Р ешение. Радиус-векторы вершин треугольника суть , , . Радиус-вектор точки C' (середины стороны AB) . По теореме школьной геометрии точка пересечения медиан делит отрезок CC' в отношении l = 2, поэтому
(среднее арифметическое).
В координатах
, , .
Р 2.3. (Мод 11) На стороне AD параллелограмма ABCD отложен вектор , а на диагонали AC – вектор . Докажите, что векторы и коллинеарны и найдите коэффициент l в соотношении .
Решение. Выразим все векторы через два базисных вектора и . Имеем , , . Векторы и выразим по правилу "конец минус начало":
,
.
Сравнивая разложения векторов и по базису, видим, что , т.е. эти векторы коллинеарны, коэффициент .
Р 2.4. (Мод 106) Найти координаты центра тяжести проволочного треугольника со сторонами 3, 4, 5. Ось Ox направлена по меньшему катету, ось Oy – по большему катету.
Решение. Длины и координаты центров тяжести сторон треугольника OAB:
OA : L1=3, C1( ,0);
OB : L2=4, C2(0,2);
AB : L3=5, C3( ,2).
По формуле находим координаты точки C (центра тяжести проволочного треугольника):
,
.
Замечание. Центр тяжести треугольника OAB, вырезанного из однородного плоского материала – точка пересечения медиан M. Для любого треугольника координаты этой точки суть средние арифметические координат вершин треугольника (см. Р 2.2)
, .
Видим, что точки C и M не совпадают. Если в вершинах разместить равные (например, единичные) массы, центр тяжести такой системы материальных точек также будет находиться в точке M.
Еще один способ получить ту же точку M: считать, что в вершинах треугольника C1C2C3 расположены равные массы, не зависящие от длин сторон, и найти точку пересечения медиан этого треугольника.
Р 2.5. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки (размеры указаны на рис. 2.5).
Решение. Площади и координаты центров тяжести трех прямоугольников, на которые разбита пластинка, суть
x1=10, y1=5, S1=200; x2=10, y2=20, S2=400; x3=25, y3=20, S3=200.
Подставив эти числа в формулу, найдем координаты центра тяжести пластинки
x=13.75, y=16.25,
он лежит на оси симметрии пластинки (см. рис. 2.5).
Замечание. Данную задачу можно решить без всяких вычислений, простыми геометрическими построениями (см. рис. 2.6). Объединим первый и второй прямоугольники в один и найдем его центр тяжести (на рисунке это точка C12). Очевидно, что центр тяжести пластинки лежит на отрезке, соединяющем эту точку с центром тяжести третьего прямоугольника C3. Таким же образом найдем общий центр второго и третьего прямоугольника (на рисунке это точка C23). Центр тяжести пластинки лежит на отрезке, соединяющем эту точку с центром тяжести первого прямоугольника C1. Окончательно приходим к выводу: центр тяжести пластинки C – точка пересечения отрезков C12C3. и C1C23.