![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лекция №1. Матрицы. Основные понятия. Понятие матрицы.
- •Алгебра матриц.
- •Свойства произведения матриц.
- •Определители.
- •Определители более высокого порядка.
- •Свойства определителей
- •При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: .
- •Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (столбцов).
- •3. Линейное свойство определителя.
- •Определитель суммы и произведения матриц.
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы. (Метод присоединенной матрицы).
- •Элементарные преобразования над матрицами.
- •Ранг матрицы. Рассмотрим произвольную, необязательно квадратную, матрицу а размера mxn. Линейная зависимость строк.
- •Вычисление ранга матрицы.
- •Системы линейных алгебраических уравнений (слау).
- •Система m уравнений с n неизвестными.
- •Система n линейных уравнений с n неизвестными.
- •Система m уравнений с n неизвестными.
- •Однородные системы линейных уравнений.
Система m уравнений с n неизвестными.
Система n линейных уравнений с n неизвестными.
Пусть дана квадратная система, т.е. m=n, , т.е. матрица системы квадратная и невырожденная. Δ=|А| - определитель системы.
Теорема 1. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет и притом единственное решение.
Доказательство. Покажем сначала единственность решения (в предположении, что оно существует). Пусть существуют n чисел х1,х2,…,хn такие, что при подстановке в систему все уравнения системы обращаются в верные тождества:
(8)
Тогда
умножая тождества (8) соответственно на
алгебраические дополнения A1j,
A2j,…,Anj
элементов j-го
столбца определителя D
матрицы А=
и складывая полученные при этом тождества,
получим "j=1,2,…,n:
=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj.
Т.к.,
по свойствам определителя,
,
то из последнего равенства получаем,
что xjD=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj (9)
Обозначим Δj – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов.
Тогда равенство (9) примет вид: xjD=Δj.
В
итоге получаем
(j=1,2,…,n)
(10)
– формулы Крамера (Габриэль
Крамер (1704-1752) – швейцарский математик).
Т.о., если решение квадратно системы существует, то оно однозначно определяется формулами (10).
Докажем теперь существование решения. Покажем, что rg (A|В)=rg A.
Т.к. D¹0, то rg A=n, а расширенная матрица (A|В) содержит только n строк, следовательно rg (A|В)£nÞ rg (A|В)=n=rg A ч.т.д.
Матричный способ решения СЛАУ (при помощи А-1).
Матричная запись СЛАУ: АХ=В. (6)
Т.к. матрица системы А квадратная и невырожденная, то существует обратная матрица А-1.Умножая слева обе части матричного равенства (2) на А-1, получим А-1(АХ)=А-1В. Т.к. А-1(АХ)= (А-1А)Х=ЕХ=Х, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец:
Хnx1=Аnxn-1Вnx1 (11)
Пример.
,
,
,
. х1=-4,
х2=1,
х3=2.
А-1=
Система m уравнений с n неизвестными.
Рассмотрим решение системы m уравнений с n неизвестными. Допустим она совместна и rg (A|В)=rg A=r.
Пусть r<n. r переменных х1, х2,…,хr называются базисными (зависимыми, основными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n-r называются свободными (независимыми, неосновными).
Решение системы (1), в котором все n-r свободных переменных равны нулю, называется базисным.
Т.к.
каждому разбиению переменных на базисные
и свободные соответствует одно базисное
решение, а число способов разбиения не
превосходит числа сочетаний
,
то и базисных решений не более
.
Т.о. совместная система m линейных
уравнений с n переменными (m<n) имеет
бесконечное множество решений, среди
которых базисных решений конечное
число, не превосходящее
.
Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор матрицы А расположен в верхнем левом углу.
Тогда первые r строк как основной, так и расширенной матрицы являются базисными и, следовательно (по теореме о базисном миноре) каждая из строк расширенной матрицы, начиная с (r+1)-й, является линейной комбинацией первых r строк.
Это означает, что каждое из уравнений системы, начиная с (r+1)-го, является линейной комбинацией (т.е. следствием) первых r уравнений.
Т.о. достаточно найти все решения только первых r уравнений. Запишем первые r уравнений в виде:
(12)
Если задать свободным неизвестным хr+1,хr+2,…,xn произвольные значения, то относительно базисных неизвестных получим квадратную СЛАУ с невырожденной матрицей, у которой существует единственное решение. Т.о., произвольно выбранный набор чисел сr+1,сr+2,…,сn однозначно определяют совокупность r чисел c1,c2,…,cr, обращающих в тождество все уравнения системы (12) и определяющиеся по формулам Крамера.
Обозначим символом Mj(di) определитель, получающийся из базисного минора М матрицы системы заменой его j-го столбца столбцом из чисел d1,d2,…,di,…,dr (с сохранением без изменения всех остальных столбцов М). Тогда, записывая решение системы (12) с помощью формул Крамера и пользуясь линейным свойством определителя, получим:
cj=
Mj(bi-ai,r+1cr+1-…-aincn)=
(Mj(bi)-cr+1Mj(ai,r+1)-…-cnMj(ain)) j=1,2,…,r
(13)
Формулы (13) выражают значения неизвестных xj=cj (j=1,2,…,r) через коэффициенты при неизвестных, свободные члены и произвольно заданные параметры cr+1,…,cn.
Докажем,
что формулы (13) содержат любое решение
системы (1). Пусть
,
,…,
,
,…,
- произвольное решение системы (1), тогда
оно является и решением системы (12). Но
из системы (12) величины
,
,…,
однозначно определяются через величины
,…,
по формулам Крамера (13). Т.о. при
=
,…,
=
формулы (13) дают рассматриваемое решение
,
,…,
,
,…,
.
Если rg (A|В)=rg A=r=n, то соотношения (13) переходят в формулы:
cj=
j=1,2,…,r
определяющие единственное решение
системы (1). Т.о. система (1) является
определенной, если rg
(A|В)=rg
A=r=n£m.
Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Пусть
в системе (1) а11
0
(этого всегда можно добиться при помощи
элементарных преобразований). В 1-м
уравнении оставляем переменную х1,
во всех остальных уравнениях исключаем
ее, умножая 1-е уравнение на подходящие
числа (
)
и прибавляя к соответственно 2-му,
3-му,…,m-му
уравнению системы.
Далее, предполагая а22 0, аналогичным образом исключаем переменную х2 из всех уравнений, начиная с 3-го. И т.д.
В результате последовательного исключения переменных получаем систему следующего вида:
(14)
, где r≤m.
Число
нуль в последних m-r
уравнениях означает, что их левые части
имеют вид
.
Если хотя бы одно из чисел
не равно нулю, то соответствующее
равенство противоречиво, и система (14)
несовместна.
Т.о. для любой совместной системы числа в системе (14) не равны нулю. Тогда последние m-r строчки являются тождествами и их можно отбросить при решении системы.
Если r<m (число уравнений меньше числа неизвестных), то система (14) неопределенна и имеет ступенчатый вид.
Если r=m, то система (14) определена и имеет треугольный вид.
Переход системы (1) к равносильной ей системе (14) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (14) – обратным ходом.
Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей системы А*.
Если система определена, то прямой и обратный ход метода Гаусса можно проводить одновременно: (А|В)~(Е|Х). Вместо столбца свободных членов получаем столбец неизвестных.
Пример.
Пример с. 75.
Пример.
Т.к.
r(A)=r(A*)=2<3=n,
то система совместна и неопределенна.
Кол-во главных переменных равно r(A)=3,
кол-во свободных переменных – (n-r)=1.
Выберем ненулевой минор 2-го порядка,
например
.
Его столбцы – 1-й и 2-й столбцы А-
соответсвуют переменным х1
и х2,
а х3-свободная
переменная. Обозначим х3=с,
тогда х2=4+2с,
х1=-8-с.
Частное решение системы при с=0: (-8;4;0)
Достоинства метода Гаусса: 1) значительно менее трудоемкий; 2) позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместности найти ее решения; 3) дает возможность найти ранг матрицы системы.