2. Кривые второго порядка.

Гиперповерхности второго порядка в являются кривыми линиями на плоскости. При изучении их будем пользоваться только прямоугольными декартовыми системами координат, рассматривая преобразования одной прямоугольной системы координат в такую же другую, возможно – с переносом начала координат из точки в точку . Общее уравнение кривой второго порядка в системе имеет вид

, (3)

где . , . Приводя квадратичную форму к главным осям и, возможно, выполняя еще перенос начала координат, получим прямоугольную систему , в которой матрицы и с точностью до перемены ролей и будут иметь одну из следующих структур:

1. , , , .

2. , , , .

3. , , .

Теорема 1. Общее уравнение кривой второго порядка, заданное в прямоугольной декартовой системе координат, переходом к другой прямоугольной системе координат можно привести к одному из следующих типов уравнений:

1. , , .

2. , , .

3. , .

(Без доказательства. Доказательство см. в [2,3].)

Числа , , называют инвариантами кривой второго порядка, число – полуинвариантом. При ортогональном преобразовании в и не изменяются. При переносе начала координат из в величины не изменяются. Если , то при переносе начала координат не изменяется. Очевидно, что характеристический многочлен матрицы имеет вид (см. тему 7). Поэтому собственные значения матрицы удовлетворяют соотношениям , .

Указанные в теореме 1 три типа уравнений соответствуют трем возможным типам симметрии кривой второго порядка.

Теорема 2. Кривая второго порядка имеет единственный центр симметрии в том и только в том случае, если ; при этом ее уравнение приводится к типу I, в котором . Кривая второго порядка не имеет центра симметрии в том и только в том случае, если , ; при этом ее уравнение приводится к типу II, в котором , . Центры симметрии кривой второго порядка заполняют прямую линию в том и только в том случае, если , ; при этом ее уравнение приводится к типу III, в котором , .

(Без доказательства. Доказательство см. в [2].)

Рассматривая все случаи уравнений типов I, II, III , получим элементарные свойства кривых второго порядка.

Уравнение типа I можно записать в виде

, (4)

где . (4) называют каноническим уравнением эллипса. Очевидно, что эллипс – ограниченная линия, поскольку все его точки удовлетворяют условиям . Эллипс имеет две оси симметрии и , а также центр симметрии – начало координат ; это вытекает из того, что наряду с точкой эллипсу принадлежат и точки , , . Оси симметрии являются главными осями эллипса. Если , то называют большой осью эллипса, а – его малой осью. Точки пересечения эллипса с главными осями называют его вершинами. Предполагая, что , введем обозначение . Точки , на плоскости называют фокусами эллипса; – половина расстояния между фокусами.

Теорема 3. Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна и равна ( ).

Доказательство. Для каждой точки эллипса имеем . Поэтому расстояния от нее до фокусов , .

Отсюда .

Уравнение типа I можно записать в виде

,

где ; оно описывает «мнимый эллипс».

Уравнение типа I можно записать в виде

,

где ; оно описывает «вырожденный эллипс» - единственную точку в начале координат.

Уравнение типа I можно записать в виде

или , (5)

где ; будем далее рассматривать только первое уравнение (5). (5) называют каноническим уравнением гиперболы. Гипербола имеет две оси симметрии и , а также центр симметрии – начало координат . Оси симметрии являются главными осями гиперболы. Главная ось пересекает гиперболу в точках и , которые называют вершинами гиперболы; называют действительной осью гиперболы. Главная ось не пересекает гиперболу, ее называют мнимой осью. Введем обозначение . Точки , на плоскости называют фокусами гиперболы; – половина расстояния между фокусами.

Теорема 4. Для каждой точки гиперболы выполнено равенство .

Доказательство. Для каждой точки гиперболы имеем . Поэтому расстояния от нее до фокусов , .

Для всех точек гиперболы выполнено неравенство ; кроме того, . Поэтому

Отсюда .

Рассмотрим часть гиперболы в области . В этой области уравнение можно записать в виде . Очевидно, при гипербола монотонно стремится к прямой линии . Аналогичные асимптотические соотношения получаем и в других областях. Прямые и называются асимптотами гиперболы.

Замечание. . Если выполнить замену переменных , то получим .

Уравнение типа I можно записать в виде

,

где . Это уравнение распадается на два: и ; они описывают две пересекающиеся прямые и .

Уравнение типа II можно записать в виде

, (6)

где . (6) называют каноническим уравнением параболы. Для определенности будем считать, что . Парабола имеет одну ось симметрии и не имеет центра симметрии. Точку пересечения оси с параболой называют ее вершиной. Точку на плоскости называют фокусом параболы. Прямую называют директрисой параболы.

Теорема 5. Расстояние от каждой точки параболы до ее директрисы равно расстоянию от этой точки до фокуса параболы.

Доказательство. Пусть – точка параболы. Ее проекция на директрису есть точка . Расстояние между ними . Учитывая, что при и , имеем .

Уравнение типа III можно записать в виде

,

где . Это уравнение распадается на два: и ; они описывают две параллельные прямые.

Уравнение типа III можно записать в виде

,

где . Это уравнение описывает две «мнимые параллельные прямые».

Уравнение типа III можно записать в виде

,

оно описывает две совпадающие прямые.

Из теорем 3 и 4 видно, что для всех точек эллипса или гиперболы имеем , , где – половина расстояния между фокусами ( и по-своему введены для эллипса и для гиперболы!). Прямые и называют директрисами эллипса или гиперболы; обозначим их через и соответственно.

Теорема 6. Для всех точек эллипса, гиперболы и параболы отношение расстояний , , постоянно. Для эллипса . Для гиперболы . Для параболы .

(Докажите самостоятельно.) Отношение называют эксцентриситетом.

Вернемся к общему уравнению кривой второго порядка на плоскости в произвольном базисе (не обязательно в декартовой системе координат); .

Теорема 7. Геометрическое место середин хорд кривой второго порядка, параллельных заданной прямой, является прямой линией.

Доказательство. Пусть в переменных кривая второго порядка задана уравнением

.

Пусть вектор задает направление некоторой прямой, – ее направляющий вектор. Предположим, что точка является серединой некоторой хорды, параллельной вектору . Это значит, что для некоторого числа выполнены равенства

,

.

Построим симметричную билинейную форму , полярную квадратичной форме . Тогда оба равенства можно записать в следующем виде:

,

.

Вычтем из первого равенства второе и сократим на :

.

Полученное равенство является линейным уравнением относительно , т.е. оно определяет прямую линию на плоскости переменных .

Определение. Вектор называют сопряженным с вектором относительно билинейной формы , если .

В теореме 7 мы доказали, что середины хорд кривой второго порядка, которые параллельны фиксированному вектору , лежат на одной прямой. Пусть и – середины двух таких хорд. Тогда, вычитая равенства и , получаем , т.е. вектор , задающий направление прямой, которая проходит через середины хорд, и вектор сопряжены относительно билинейной формы, полярной квадратичной форме .