- •«Московский государственный технический университет имени н.Э. Баумана» (мгту им. Н.Э.Баумана)
- •Домашнее задание по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант № 15
- •1)Найти центр рассеивания случайного вектора (X, y).
- •3) Построить ковариационную и корреляционную матрицы.
- •Найти центр рассеивания случайного вектора (X, y).
- •Построить ковариационную и корреляционную матрицы.
- •Найти центр рассеивания случайного вектора (X, y).
- •Построить ковариационную и корреляционную матрицы.
Найти центр рассеивания случайного вектора (X, y).
Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 0] и дисперсию D[X/Y = 0].
Построить ковариационную и корреляционную матрицы.
Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.
Найти центр рассеивания случайного вектора (X, y).
Функция плотности совместного равномерного распределения в области G постоянна и равна F(X,Y) = = =
Одномерные плотности вероятности распределения X и Y
FX(x) = (x,y)dy = dy = = , 0 ≤ x ≤5
FY(y) = (x,y)dx = dx = = , - 5 ≤ y ≤ 2
Так как F(X,Y) = = * = FX(x)*FY(y), X и Y независимы.
Случайные величины X и Y также распределены равномерно. Математические ожидания равны
M(X) = *Fx(x)dx = dx = =
M(Y) = *Fy(y)dy = dx = = - = -
То же получим по формулам для равномерного распределения:
M(X) = = =
M(X) = = = -
Центр рассеивания случайного вектора (X, Y): M(X,Y) = (M(X),M(Y)) = ( , - )
Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 0] и дисперсию D[X/Y = 0].
Условная плотность вероятности φx(x/y) = = =
Плотность вероятности X при условии Y=0: φx(x/y = 0) =
Условное математическое ожидание
M(X/Y = 0) = φx(x/y = 0)dx = dx = =
условная дисперсия.
D(X/Y = 0) = φx(x/y = 0)dx – (M(X/Y = 0))2 = dx – 5 = - 5 = - 5 = = = 1,25
Построить ковариационную и корреляционную матрицы.
Найдем ковариацию X и Y.
K (X,Y) = K (Y,X) = x-M(X))(y-M(Y))f(x,y)dxdy = yf(x,y)dxdy – mxmy = dxdy - mxmy = dx dy – M(X)M(Y) = M(X)M(Y) - M(X)M(Y) = 0
Найдем дисперсии X и Y по одномерным законам распределения.
D(X) = M ((X – M(X))2) = X2fx(x)dx – (M(X))2 = dx – = - = - = = = 2,08
D(y) = M ((Y – M(Y))2) = Y2fy(y)dy – (M(Y))2 = dy - = - = - = = = 4,08
То же получим по формулам для равномерного распределения:
D(X) = = =
D(Y) = = =
Ковариационная матрица .
K =
Коэффициент корреляции .
Корреляционная матрица .
По определению функции распределения, .
Вероятность того, что X+Y<s, равна отношению площади S0 той части прямоугольника G, которая лежит ниже прямой , к площади всего прямоугольника, равной 35.
Из рисунков видим, что
при s ≤ -5 , при -5< s ≤ 0 S0 = , при 0 < s ≤ 2 S0 = 7+4s,
при 2< s ≤ 7 S0 = , при s > 7 S0 = 35
при , при , при ,
при , при .
Плотность вероятности
2) .
Вероятность того, что X·Y<z, равна отношению площади S0 той части прямоугольника, которая лежит ниже гиперболы , к площади всего прямоугольника, равной 35.
Из рисунков видим, что
при z ≤ -25 S0 = 0
при -25 < z < 0 S0 = 5 - )dy = (5y – z ) z/55 = z + 25 – z ,
при 0 < z ≤ 15
S0 = 35 – 5 - )dy = 35 – (5y - z ) 2z/5 = 35 – (10 – z - z ) = 25 + z +
При z > 10 S0 = 35
Плотность вероятности
.
Задача 3.
Пусть время до отказа рассматриваемого изделия подчиняется экспоненциальному закону с параметром , где — неизвестный параметр. По результатам испытаний образцов изделий получена выборка:
70.8 с, 362.23 с, 62.44 с, 76.91 с, 56.71 с, 88.05 с, 74.87 с, 103.84 с.
Найти оценку параметра , используя различные способы.
Задача 4.
Пусть определяется величина H с помощью измерительного прибора. Среднеквадратичное отклонение погрешности измерения 0 равно 10 мм. По результатам измерений получена следующая выборка:
420.8 мм, 406 мм, 441.2 мм, 419.5 мм, 424.2 мм, 434.7 мм.
Считая, что H ~ N(, 0), определить доверительный интервал для параметра с уровнем доверия 0.9.
Задача 5.
Пусть измеряемая величина Y ~ N(, ) является пределом прочности при растяжении материала (Ст. 3). По результатам испытаний образцов получена выборка:
414.8 МПа, 424.5 МПа, 424.2 МПа, 425.7 МПа, 427.8 МПа, 427.8 МПа.
Установить доверительные интервалы для и с уровнем значимости 0.1.
Задача 6.
Данные измерения величины y в зависимости от факторов m, b и s представлены в табл. 1 и 2.
Таблица 1
Значения y в зависимости от m, b и s
№ опыта |
m, кг |
b, Hc/м |
s, H/м |
y, H |
1 |
5 |
1 |
1 |
47.48 |
2 |
1 |
1 |
1 |
34.71 |
3 |
5 |
5 |
1 |
107.75 |
4 |
1 |
5 |
1 |
97.18 |
5 |
5 |
1 |
3 |
85.18 |
6 |
1 |
1 |
3 |
73.18 |
7 |
5 |
5 |
3 |
142.52 |
8 |
1 |
5 |
3 |
132.82 |
Таблица 2
Данные специальной серии опытов по измерению величины y
№ опыта |
m, кг |
b, Hc/м |
s, H/м |
y, H |
1 |
3 |
3 |
2 |
91.83 |
2 |
3 |
3 |
2 |
89.09 |
3 |
3 |
3 |
2 |
90.5 |
4 |
3 |
3 |
2 |
89.44 |
5 |
3 |
3 |
2 |
89.97 |
6 |
3 |
3 |
2 |
90.78 |
7 |
3 |
3 |
2 |
91.62 |
8 |
3 |
3 |
2 |
88.6 |
Используя данные из этих таблиц, найти экспериментальную зависимость y(m, b, s). В качестве первого приближения следует выбрать линейную регрессионную модель вида
y(m, b, s) = 01 + 1 m + 2 b + 3 s + e,
где 0, 1, 2, 3 — коэффициенты регрессии; 1, m, b, s — базисные функции (F0 = 1, F1 = m, F2 = b, F3 = s); e — случайная величина.