Р ис. 1. Две основные задачи на преобразование чертежа отрезка прямой
2. Две основные задачи на преобразование чертежа плоскости.
Задача 1. В новой плоскости проекций преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость.
Задача 2. В новой системе плоскостей проекций преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня.
Решение обеих задач рассмотрим на одном эпюре.
Преобразование чертежа плоскости проводится относительно одной из главных линий плоскости – горизонтали или фронтали. Если в практических задачах не оговариваются какие-либо дополнительные условия, то выбор главной линии произволен. Решение задач не зависит от этого выбора.
Решение задачи 1.
Относительно построенной главной линии плоскости, например, относительно горизонтали, проводится новая ось проекций П1/П4, ограничивающая плоскость П4. Чтобы плоскость общего положения преобразовать в проецирующую плоскость необходимо новую ось П1/П4 провести перпендикулярно построенной горизонтали. На плоскость П4 плоскость АВС в этом случае спроецируется в прямую линию, поэтому в новой системе плоскостей проекций П1/П4 плоскость АВС становится проецирующей.
После задания новой плоскости проекций П4 все элементы чертежа необходимо спроецировать на эту плоскость. Для этого из проекций А1, В1 и С1 проводятся линии связи, перпендикулярные оси П1/П4. От новой оси проекций на этих линиях связи необходимо отложить отрезки, равные расстоянию от заменяемых фронтальных проекций А2, В2 и С2 до заменяемой оси проекций П2/П1.
Таким преобразованием пользуются:
при определении расстояния от точки до плоскости;
при определении точки пересечения прямой с плоскостью;
при определении расстояния между двумя параллельными плоскостями.
Решение задачи 2.
Чтобы проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня необходимо новую ось П4/П5 провести так, чтобы она была параллельна построенной проекции А4В4С4. На плоскость П5 плоскость АВС в этом случае спроецируется в натуральную величину, поэтому в новой системе плоскостей проекций П4/П5 плоскость АВС становится плоскостью уровня.
После задания новой плоскости проекций П5 все элементы чертежа необходимо спроецировать на эту плоскость. Для этого из проекций А4, В4 и С4 проводятся линии связи, перпендикулярные оси П4/П5. От новой оси проекций на этих линиях связи необходимо отложить отрезки, равные расстоянию от заменяемых горизонтальных проекций А1, В1 и С1 до заменяемой оси проекций П1/П4.
Таким преобразованием пользуются для определения натуральной величины плоской фигуры.
Рис. 2. Две основные задачи на преобразование чертежа плоскости
Методические указания к выполнению графической работы “метод замены плоскостей проекций”
В графической работе “Метод замены плоскостей проекций” необходимо решить следующие задачи:
1. На прямой AD определить точку, удаленную от плоскости треугольника ABC на расстояние h1.
2. Определить центр описанной около треугольника АВС окружности.
3. На одной из прямых AD или BC определить точку, удаленную от другой прямой на расстояние h2.
Задачи решаются методом замены плоскостей проекций, причем первые две задачи выполняются на одном эпюре. Работа выполняется на листе чертежной бумаги формата А3 по индивидуальным заданиям в масштабе 1:1. Таблица вариантов заданий приведена в приложении 2 “Рабочей тетради по начертательной геометрии и инженерной графике”. Обводка производится цветными гелевыми ручками, при этом черным цветом вычерчиваются заданные проекции, зеленым – все вспомогательные построения, красным – решение задач.
Рассмотрим пример выполнения графической работы для одного из вариантов.
-
Точка
Координаты
X
Y
Z
A
65
0
40
B
40
55
5
C
0
5
20
D
70
35
65
Выполнение графической работы начинается с построения исходных данных. Для этого необходимо построить горизонтальную и фронтальную проекции каждой из данных точек.
На чертеже задается положение осевой линии Х. На этой оси небольшим штрихом отмечается точка начала системы координат (точка начала отсчета). Оси Y и Z полностью вычерчивать не нужно. Построение проекций точек понятно из рисунка.
Для решения задач 1 и 2 построенные проекции точек необходимо соединить до получения треугольника АВС и отрезка AD.
Преобразования чертежа плоскости выполняются относительно одной из главных линий плоскости, поэтому проведем в треугольнике АВС горизонталь СН. Построение горизонтали начинается в плоскости П2, так как фронтальная проекция горизонтали всегда параллельна оси Х. Горизонтальная проекция горизонтали (г.п.г.) строится после фронтальной из условия принадлежности этой прямой плоскости.
Итак, фронтальную проекцию горизонтали удобнее провести через вершину С треугольника АВС. Поэтому из проекции С2 параллельно оси Х проводится прямая до пересечения со стороной АВ данного треугольника. Полученную точку пересечения обозначаем Н2. Линия С2Н2 – фронтальная проекция горизонтали.
Далее определите горизонтальную проекцию горизонтали. В плоскости П1 на стороне треугольника А1В1 прямым проецированием из проекции Н2 определяется проекция Н1. Полученную проекцию Н1 соедините с проекцией С1. Линия С1Н1 – горизонтальная проекция горизонтали.
Далее в решение задачи необходимо ввести плоскость П4, чтобы плоскость треугольника АВС стала проецирующей плоскостью. Для этого полученную горизонтальную проекцию горизонтали С1Н1 необходимо продлить на некоторое расстояние и перпендикулярно этой линии провести новую ось П1/П4. Расстояние от проекции С1Н1 до новой плоскости проекций П4 ничем не нормируется и может быть задано произвольно.
Для получения проекций А4, В4, С4, D4 из проекций А1, В1, С1, D1 проводятся линии связи, перпендикулярные оси П1/П4. От новой оси проекций на этих линиях связи необходимо отложить отрезки, равные расстоянию от заменяемых фронтальных проекций А2, В2, С2, D2 до заменяемой оси проекций П2/П1. В результате правильно выполненных действий в плоскости П4 получается проекций-линия треугольника АВС и проекция отрезка AD.
Далее на расстоянии h1 от проекции А4В4С4 проводится вспомогательная линия до пересечения с проекцией A4D4. Построенная точка пересечения является искомой, обозначим ее К4. Полученную точку необходимо спроецировать в плоскости П1 и П2.
Задача 1 решена.
Для решения задачи 2 необходимо выполнить еще одну замену плоскостей проекций – плоскость П1 заменить плоскостью П5, одновременно перпендикулярную плоскости П4.
Для построения окружности, описанной около треугольника, необходимо, чтобы этот треугольник был спроецирован на плоскость проекций в натуральную величину. Поэтому новую плоскость П5 выбираем параллельно данному треугольнику АВС. На чертеже новая ось проекций П4/П5 проводится параллельно проекции А4В4С4 на произвольном расстоянии от нее.
После задания новой плоскости проекций П5 все элементы чертежа необходимо спроецировать на эту плоскость. Для этого из проекций А4, В4, С4 проводятся линии связи, перпендикулярные оси П4/П5. От новой оси проекций на этих линиях связи необходимо отложить отрезки, равные расстояниям от заменяемых горизонтальных проекций А1, В1, С1 до заменяемой оси проекций П1/П4. В результате правильно выполненных действий в плоскости П5 получается проекция треугольника АВС в натуральную величину.
Центр описанной около треугольника окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Построение серединных перпендикуляров понятно из рисунка. Полученный центр окружности необходимо спроецировать в плоскости проекций П4, П1 и П2 с учетом соответствующих расстояний от проекций точек до осей.
Задача 2 решена.
Для решения задачи 3 необходимо выполнить новый эпюр. Построенные проекции точек необходимо соединить до получения двух отрезков AD и ВС.
Задача решается методом замены плоскостей проекций относительно одного из полученных отрезков, например, относительно отрезка ВС. В общем случае используются две замены плоскостей проекций.
Новая ось П1/П4 проводится на произвольном расстоянии от проекции В1С1 параллельно ей. Отрезок AD проецируется вместе с отрезком ВС. Для получения проекций А4, В4, С4, D4 из проекций А1, В1, С1, D1 проводятся линии связи, перпендикулярные оси П1/П4. От новой оси проекций на этих линиях связи необходимо отложить отрезки, равные расстоянию от заменяемых фронтальных проекций А2, В2, С2, D2 до заменяемой оси проекций П2/П1.
Плоскость П5 задается перпендикулярно отрезку ВС. Новая ось П4/П5 проводится на произвольном расстоянии от проекции В4С4 и перпендикулярно ей. После задания новой плоскости проекций П5 все элементы чертежа необходимо спроецировать на эту плоскость. Отрезок AD проецируется вместе с отрезком ВС. Из проекций А4, В4, С4, D4 проводятся линии связи, перпендикулярные оси П4/П5. От новой оси проекций на этих линиях связи необходимо отложить отрезки, равные расстояниям от заменяемых горизонтальных проекций А1, В1, С1, D1 до заменяемой оси проекций П1/П4.
В результате выполненных преобразований отрезок ВС из прямой общего положения становится прямой уровня, а затем проецирующей прямой. Отрезок AD в новых плоскостях проекций остается прямой общего положения.
Итак, в плоскости П5 из проекции-точки В5С5 необходимо провести дугу радиусом равным h2 до пересечения с проекцией отрезка A5D5. Точка пересечения – искомая точка. Обозначим ее N5. Полученную точку необходимо спроецировать в плоскости П4, П1 и П2.
Дополнительно: расстояния h1 и h2 назначаются студентом самостоятельно из условия удобного расположения элементов на чертеже.
Рис. 3. Решение задач 1 и 2
Рис.4. Решение задачи 3