4. Число линий вектора e, пронизывающих некоторую поверхность s, называется потоком вектора напряженности ne.

Для вычисления потока вектора E необходимо разбить площадь S на элементарные площадки dS, в пределах которых поле будет однородным (рис.13.4).

Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен по определению(рис.13.5).

где   - угол между силовой линией и нормалью   к площадке dS;   - проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность площадки S будет равен

(13.4)

Так как   , то

(13.5)

где   - проекция вектора   на нормаль и к поверхности dS.

Определим поток напряжённости поля электрических зарядов через некоторую замкнутую поверхность, окружающую эти заряды. Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиуса R, окружающей один заряд, находящийся в ее центре (рис. 13.6).  Напряженность поля по всей сфере одинакова и равна

Силовые линии направлены по радиусам, т.е. перпендикулярны поверхности сферы   , следовательно

т.к.    Тогда поток напряженности   будет равен

Используя формулу напряжённости, находим

(13.6)

Окружим теперь сферу произвольной замкнутой поверхностью S’. Каждая силовая линия, пронизывающая сферу, пронижет и эту поверхность. Следовательно формула (13.6) справедлива не только для сферы, но и для любой замкнутой поверхности. Если произвольной поверхностью окружаем n зарядов, то очевидно, что поток напряженности через эту поверхность равен сумме потоков, создаваемых каждым из зарядов, т.е.

или

(13.7)

Таким образом, полный поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме свободных электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на   . Это положение называется теоремой Остроградского - Гаусса. С помощью этой теоремы можно определить напряженность полей, создаваемых заряженными телами различной формы.

5. Теорема Гаусса: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемой этой поверхностью, деленной на ε0.

Заметим: с физической точки зрения закон Гаусса можно рассматривать как закон сохранения потока в том смысле, что поток не зависит от поверхности, а также и от времени при условии, что заряды не пересекают поверхность.

Методика (алгоритм) применения теоремы Гаусса для расчета электрических полей

Теорема Гаусса применяется для нахождения полей, созданных телами, обладающими геометрической пространственной симметрией. Например, точечный заряд, равномерно заряженная сфера или шар обладают сферической симметрией; равномерно заряженный бесконечный цилиндр или нить обладают цилиндрической симметрией; равномерно заряженная бесконечная плоскость

обладает плоской или зеркальной симметрией и т.д.. Тогда векторное уравнение сводится к скалярному.

1)Рассматриваем данное распределение заряда и определяем его пространственную симметрию.

2) Через точку, в которой ищем поле, проводим воображаемую геометрическую поверхность, обладающую той же симметрией, что и распределение заряда.

3) Находится поток N вектора по определению потока. E

4) Находится поток N по теореме Гаусса.

5) При геометрической симметрии векторное уравнение сводится к скалярному. Тогда из условия равенства потоков находится модуль и направление вектора .

6. Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершению созданной им макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существование которых было впоследствии подтверждено.

В основе теории Максвелла лежат рассмотренные выше четыре уравнения:

1. Электрическое поле может быть как потенциальным (Е_Q), так и вихревым (Е_B), поэтому напряженность суммарного поля Е = Е_Q + Е_B. Так как цир куляция вектора Е_Q равна нулю (см. (137.3)), а циркуляция вектора Е_B определяется выражением (137.2), то циркуляция вектора напряженности суммарного поля

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н (см. (138.4)):

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущими ся зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D (см. (89.3)):

                                                                      (139.1)

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , то формула (139.1) запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В (см. (120.3)):

Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):

где ₀ и ₀ — соответственно электрическая и магнитная постоянные,  и  — соответст венно диэлектрическая и магнитная проницаемости,  — удельная проводимость веще ства.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Для стационарных полей (E=const и B=const) уравнения Максвелла примут вид

т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса