Линии и их уравнения на плоскостях

Пусть х и у переменные величины каждая из которых может принимать различные значения. Рассмотрим уравнение F(х,у)=0

Будем говорить что числа х0, у0 удовлетворяют уравнению, если подставив их вместо переменных х и у в выражение F(х,у) мы получим тождество F(х0,у0)=0 и наоборот если числа х0 и у0 не удовлетв уравнению то подставив их в левую часть вместо переменных х и у мы получим что F(х,у)не равно 0

2у-х=0; х=2, у=й – удовлетв;; х=3, у=1 – не удовлетв

Уравнение F(х,у)=0 может удовлетворять 1 пара действ чисел, несколько и даже безчисленное множество таких пар. Существует уравнение которым не удовл не 1 пара действ чисел х4+у2+1=0 х4+у2=-1 В аналит геометрии линии рассматр как геом место точек и их составлющее например окружность опред как геом место точек плоскости равно отстоящее от некоторой фиксир т плоскости, т.е центра окружности. Биссектр плоского угла можно рассматривать как геом место точек равноотстоящих от сторон этого угла. Пусть на данной плоскости выбрана декартова прямоуг ск ХОУ. Уравнение F(х,у)=0 связывающее 2 переменные величины х и у наз уравнением линии в выбранной с.к на плоскости, если корд любой т линии удовлетв этому уравнению а корд т не принадлежит линии – этому уравн не удовлетв. Т.о уравнение линии есть соотношение связыв корд т данной линии и только ее. Это соотнош представл собой аналит запись. Т.е запись с помощью формулы того свойства которое выделяет среди данной линии т.е уравнение линии это запись св-ва которое опред данное геометр место точек. Например возьмем окруж с радиусом Р и пусть центр т. О (а;в) Т.о окруж опред как геом место т отстоящих от т О на расстояние Р. (х-а)2+(у-в)2-Р2=0 . (х-а)2+(у-в)2=Р2

Уравнение прямой (с углов коэф)

Прямая м.б задана уравнением 1 степени относительно х и у; у=кх+в, в этом уравнении х и у явл корд произвольной т прямой а постоянные для данного уравнения в и к наз параметрами этого уравнения: к-углов коэф, а в –это начальная ордината. Геометрич смысл этих параметров след: к= tg gугла наклона прямой к оси абсц. в – нач ординат т.е отрезок отсекаемой прямой на оси ординат

Частные случаи: в=0 у=кх – прямая проходит через нач корд

К=0 у=в прямая параллельна абсц и пересек в в точке в

Х=а аналогично

Общее уравнение прямой

Всякое уравнение 1 степ относит х и у (Ах+Ву+С=0) опред в прямоуг с.к ХОУ некоторую прямую. Возможные случаи: А, В, С не равны 0 разделим все члены уравн на коэф у=-А/Вх-С/В, обозначим через к=-А/В, в=-С/В, у=лх+в

А=0, В,С не равно 0, Ву+С=0 у=-С/В обозначим в, у=в – уравн прямой.

А, С не равно 0 В=0 Ах+С=0 х=-С/А, х=а уравн прямой проход через т А параллел оси орд.

С=0 А,В не равны 0, Ах+Ву=0 , у= -А/Вх, к=-А/В, у=кх – уравн прямой прох через нач корд.

А=0, С=0, В не равно 0 Ву=0 у=0 ось абсц

В=0, С=0 А не равно 0 Ах=0 х=0 ось орд.

Во всех случаях уравнения где А и В одновременно не равны – явл уравнением прямой. В прямоуг декарт с.к всякая прямая м.б представлена уравнением 1 степени и обратно любое уравнение 1 степ относит х и у опред прямую линию.

Уравнение прямой прох через данную точку в данном направлении

Необх сост уравнение прямой проход через т М0(х0;у0) и имеющ углов коэф К. Уравнение этой прямой можно записать как уравнение прямой с углов коэф у=кх+в. В этом уравнении начальная ордината в пока не известна т.к искомая прямая проходит через Мо, то корд этой т должны удовлетворять этому уравнеию, т.е у0=лч0+в, получим уравнение где 1 неизвестное в=у0-лх0 и у =кх=(у0-кх0), у-у0=к(х-х0), полученное уравнение наз уравнением прямой прох черех данную точку в заданном направлении

Уравнение прямой проходящей через 2 заданные точки

Воспользуемся уравнением у-у0=к(х-х0) в этом уравнении к – неизвестно, т.к искомая прямая проходит через т М2 (х2;у2) то корд этой т должны удовл уравнению у2-у1=к(х2-х1) к= у2-у1 /х2-х1 Подставляя найденное знач к в уравнение получим искомое уравнение прямой проход через т М1 и М2 у-у1= у2-у1/х2-х1*(х-х1) и если у2 отлично от у1 получаем у-у1/у2-у1=х-х1/х2-х1

Уравнение прямой в отрезках по осям

Необходимо сост уравнение прямой если известно что она отсекает на си абсц отрезок а не равное 0 а на оси ордин в не равн 0. Пусть данная прямая отсекает на оси абсц отр ОА а на оси орд ОВ тогда т А(а,0), т В(0,в), у-0/в-0=х-а/о-а, у/в=х/-а) +1, х/а+у/в=1

Сколярное произведение векторов

Сколярное произведение 2-х векторов наз число равное произведению их длин, модулей умноженное на cjs угла м-ду ними. Обозначается (а,в), а*в, ав. Согластно опред имеем |ав|=|а|*|в|cos g . Скалярное произведение векторов а и в будет = 0 в 2 случаях: 1. Если хотя бы 1 из векторов а и в явл. Нулевым вектром; 2 Если векторы перпендик (ортоданальны) если скалярное произведение 2 х векторов =0 то либо эти векторы перпендикулярны либо 1 из них нулевой.

Свойства скалярного произведения

1 Скаляр произв векторов СПВ подчиняется переместительному закону |ав|=|а|*|в|cos g; |ав|=|в|*|а|cos g

2 СПВ подчиняется сичитат закону относит скалярного множителя, т.е (лямбда, в)=лямбда(а,в)

3 СПВ подчин распределит закону , а(в=с)=а*в+а*с

4 Квадрат вектора равен квадрату ео модуля,т.е (а)2=(аа)=|а||а|cos0=|а||а|1= |а|2

Векторное произведение не коллинеарн векторов

Наз вектор с длина которого равна площади параллелограмма постороенного на вект а и в который перпендик плоскости этого параллелограмма и направлены так что смотреть с его конца то ближайший поворот от а к в происходит против часовой стрелки. Если а и в колинеарны их вектр произвед наз нулевой вектор. Обознач вект произвед [а,в], а ×в. Из опред с это результат вектр умножения 2 векторов с=[а,в], то |с|=|а|*|в|*sing. Если векторно умножить в на а то получится вектор [ва] = по модулю [а,в] но направлен в провотиположную сторону, т.е [а,в]=- [ва], если векторы коллинеарны то их произвед =0

Св-ва: Для любых векторов а и в ВП= [а,в]=- [ва],т.е подчиняется переместит закону

2 ВП подчиняется сочитательному закону относит скалярного множителя [лямбда а,в]=лямбда[а,в]; [а лямбда в]=лямбда[а,в]

3 ВП подчиняется распределит закону [а(в+с)]= [ав]+[ас]

Линейные зависимые и не зависимые векторы

Пусть дана система n-векторов а1,а2….аn-1,аn (n≥2) Система векторов наз линейно завис если существ такие числа к1,к2….кn-1,кn, хотя бы одно из которых отлчно от 0 что имеет место равенство к1а1=к2а2=….кnаn=0 Линейно не завис в противном случае. Система векторов а1,а2….аn где ( n≥2) наз линейно зависимойесли хотя бы 1 из этих векторов явл линейной комбинацией остальных векторов системы и линейно-не завис в противном случае.

Сложение векторов

Суммой векторов а и в наз такой вектор с начало которого совпад с началом вект а, а конец с концом вект в, при условии что нач вект в приложено к концу вект а .

Св-ва; слож вект подчин перемест закону а+в=в+а

Слож вект подчин сочетат закону (а+в)+с=а+(в+с)

Вычитание векторов

Разностью векторов а и в наз вект с для которого с+а-в=а+(-в). Для геом построения вект разности с=а-в, можно поступить 1 из 2 способов.

Проекции векторов

Проекция МР на ось наз велич отрезка М,Р где М- это проекция нач вект , Р-проекция конца вект на эту ось. Проекцию вект принято обознач а'

Проекц вект на оь = произвед модуля вектора на cos угла наклона вектора к оси а'=|а|cosq

Проекц суммы векторов на ось = сумма проекций слогаемых векторов на эту же ось

Основные понятия и опред матричной алгебры

Матрица – это прямоугольный массив чисел располож по строкам и столбцам. Матрицы служат для представления численных данных в удобном для матем обработки форме. В общем виде матрица запис след образом:

Аij – элемент матр; i строка, jстолбец

Размеренность А-кол-во строк и столбцов (Аm×n) Если кол-во строк и столбцов = то А-квадратня порядка n Квадр А порядка n будет наз единичной если все элем глав диаг =1 а все элементы вне диаг =0

Диагональной А наз квадр А в которой все элем не наход на глав диаг=0, А все элементы которой явля 0, наз нулевой, обозн Оn, А сост из 1 элем есть просто число, А сост из 1 строки наз вектором строкой, А сост из столбца часто для удобства запис из строки.

Сложение, Вычитание матриц

Суммой 2 матриц А и В имеющ соотв равные кол-ва строк и столбцов наз матрица элементы которой равняются сумме соотв элементов матриц А и В.

Св-ва: сложение подчиняется переместит закону А+В=В+А

Сложение подчиняется сочитат закону А+(В+С)=(А+В)+С

А+0=0+а=А нулевая

Вычитание: Разность 2 матриц опред формулой А-В=А+(-В). Т.о А-В есть С где элемент С есть разница элементов стоящих на одинаковых местах

Умножение матриц на число

Произведение числа к на матрицу А или наоборот наз матрица которая возникает из матрицы путем умнож всех ее элементов на число к

Св-ва: если мы умнож 1 на А получим А

0А=А*0=0 нулевая

Переместит закон

А(-1)=-А

А+(-А)=0 нулевая

(-К)А=-(КА)

-(А+В)=А-В

Умножение матрицы на матрицу

Умножать можно только те матрицы для которых число столбцов первого сомнож равно числу строк второго. Результатом умножения явл матрица укоторой число строк равно числу строк 1 а число столбцов совпад с числ 2.

Св-ва умножения матриц

АВ не равно ВА не подчин перемест закону

АЕ=ЕА=А

Произвед матр подчиняется сочитат закону А(ВС)=(АВ)С

Произвед матриц подчин распред закону (А+В)=АС+ВС

Протзвед 2 матриц м.б нулевой А хотя не один из сомножителей не есть нулевой А

Трансформированная матрица

А'которую получ из матр А заменяя строки на столбцы , а столбцы на строки наз трансформиванной матр и обознач А'А=[а11,а12….а1n] есть столбец А'[а11 а12, а1n] и наоборот.

Св-ва: ТР-ая А с суммой двух А = сумме тр-ых матриц слогаемых (А+В)'=А'+В'

Тр-ая матрица, произвед 2 матриц= произвед тр-ых матриц перемнож в обратной последоват (АВ)'=В'А'

Обратная матрица

Дана квадратная матрица А произвольного n-ого порядка, пусть Е-единич матрица, того же порядка. Квадрат матр Х такая что ХА=АХ=Е, наз матрицей обратной матрице А и обознач А¯¹

Св-ва: матр обратная матрице обрат матр А = матр (А¯¹)¯¹=А

Обрат матр произвед 2 квадр матр одного порядка= произв обрат матр умнож в обратной последовательности (АВ)¯¹=В¯¹А¯¹

Датерминант(определитель)

Значение опред 1 порядка есть число равное его элементу.

Пусть дана матрица 2 порядка необх вычисл определитель.

Определитель = а11*а22-а12*а21

Дана матрица 3 порядка

Вычисление опред n-ого порядка.

Дан опред n-ого порядка. Вычеркиваем в этом определителе произвольную строку и произвольный столбец.

Существ понятие алгебр дополнение Дijэлемента аij определ как число полученное от умножения минора на (-1) в степ i+j.

Существ теорема которая дает возможность найти знач опред любого порядка: Определитель n-ого порядка можно разложить по элементам i строки или jстолбца

Формулы наз формулами Лапласса Эта теорема позволяет свести вычисл опред n-ого порядка к вычисл опред n-1 порядка, n-1 к n-2 и т.д. Квадрат матрица опред которой =0 наз особой матр.