Матан(ответы,)
.docxНеобходимый минимум определений и утверждений
Отображение (функция).
Пусть имеются 2 множества Х и У. Говорят, что имеется функция, определенная на Х, если в силу некоторого закона(правила) f каждому элементу х из Х соответствует элемент у из У
Взаимообратное отображение (биективное отображение).
f(X)=Y(сюръективность)
Если для любых х1 и х2 из Х f(x1)=f(x2) следует, что х1=х2. То есть различные элементы имеют различные образы. (инъективность)
f(x)=y, то f-1(y)=x
Равномощные множества.
Это множества, между которыми можно установить взаимооднозначное соответствие.
Счетные и несчетные множества.
Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел называется счетным. Если бесконечное множество неэквивалентно множеству натуральных чисел, то оно называется бесконечным.
Верхняя (нижняя) грань.
Не пустое множество А из R называется ограниченным сверху, если существует число b из R, такое, что для любого а из R a<=b. b называют верхней гранью.
Принцип вложенных отрезков.
Пусть М – система вложенных отрезков, тогда существует ч такой, что для любого I из М все отрезки из М имеют общую точку.
Предел числовой последовательности.
Число А называется пределом числовой последовательности {Xn}, если для любого E(эпсилон)>0 найдется такой номер, начиная с которого выполняется неравенство |Xn-A|<E.
Критерий Вейерштрасса сходимости числовой последовательности.
Пусть {Xn}-неубывающая(невозрастающая) последовательность. Тогда Хn сходится тогда и только тогда Хn ограничена сверху(снизу).
Число e.
e =
Лемма Больцано-Вейерштрасса.
Любая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.
Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
{Xn} сходится ↔ для любого Е>0 существует N такое что для любого n>N для любого n’>N
|xn-xn’|<E
Верхний и нижний пределы числовой последовательности.
Число α(конечное, +∞ или -∞) называется верхним (нижним) пределом последовательности {Xn}, если существует подпоследовательность {Xnk}, сходящийся к нему и при этом всякая другая подпоследовательность последовательности {Xn} сходится к числу не большему(не меньшему) чем α.
Элементарные функции (определение, графики).
Целая и дробные рациональные функции.
Степенная функция.
Показательная функция.
Логарифмическая функция.
Тригонометрические функции.
Обратные тригонометрические функции.
(написать все возможные функции каждого вида и построить графики)
Предел функции.
Говорят, что функция f(x) имеет предел, конечный или нет, при xa, если какую бы последовательность с пределом а, извлеченную из Х, не пробегала независимая переменная х, соответствующая последовательность значений функций f(x1),f(x2)…f(xn)… всегда имела предел А.
Критерий Коши существования предела функции.
Функция f(x) имеет пределом число А при xa, если для каждой δ>0 |f(x)-A|<E лишь только |x-a|<δ.
Два замечательных предела.
1ой замечательный предел:
=1
2ой замечательный предел:
Понятие непрерывности функции в точке.
-Функция f(x) называется непрерывной в точке х=х 0
Если =f(x0).
Если это соотношение не выполняется, то в этой точке функция имеет разрыв.
- Функция f(x) называется непрерывной в точке х=х 0
Если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое при ращение функции.
Классификация точек разрыва.
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1ого рода, если существуют конечные, односторонние пределы f(x-0) и f(x+0). Если один из указанных пределов не существует, то точка разрыва называется точкой разрыва 2ого рода.
Теорема Вейерштрасса о максимальном значении.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке с то:
Она ограничена, то есть существует конечное m и M, такое, что m≤f(x)≤M, при a≤x≤b.
f(x) достигает на этом отрезке точных верхней и нижней границ, то есть точка, где функция принимает максимальное значение и есть точка, где функция принимает минимальное значение.
Равномерная непрерывность.
Функция f(x) называется равномерно непрерывной на Х, если .
Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
Пусть f(x) непрерывна на [a,b], тогда f(x)-равномерно непрерывна на [a,b].
Дифференцируемость функции в точке.
Говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0,
Если:
Модно представить в виде:
Производная в точке, дифференциал.
Если существует предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению независимой переменной х при :
То он называется производной f(x) по независимой переменной х в точке х=х0
Дифференциалом функции f(x) называется выражение =dy=df (из предыдущего определения)
Геометрический смысл производной и дифференциала.
Геометрический смысл производной
y’(x)=tgα, где α-это угол между касательной к графику y(x) и положительным направление оси OX.
Геометрический смысл дифференциала.
Дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.
Таблица производных.
Дифференцирование композиции функций.
Производные арифметических операций.
Требуется дифференцируемость функций f(x) и g(x) в точке х. Тогда:
1) (с*f(x))’=c*f’(x), c=const.
2) (f(x)+(-)g(x))’=f’(x)+(-)g’(x)
3) (f(x)*g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)
4)
Производная сложной функции:
Пусть:
1) имеет в точке производную
2) y=f(u) имеет в соответствующей точке производную, тогда сложная функция y=f( (x)) также имеет сложную производную и:
Или:
yx’=yu’* ux’
Дифференцирование обратной функции.
Пусть
1)f(x) и g(y) взаимно обратные функции
2) f(x) и g(y) непрерывны в точке х0 и y0=f(х0)
3) f(x) в точке х0 имеет производную не равную нулю
Тогда в точке y0 функция g(y) имеет производную равную g’(y0)=1/f ' (х0)
Производные высших порядков (формула Лейбница).
Теорема Ферма.
Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке Х и во внутренней точке С принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если в этой точке существует конечная производная f'(c) то f’(c)=0.
Теорема Ролля.
Пусть
f(x) – непрерывна на отрезвке АВ
существует конечная производная f'(x) во всех точках на интервал (а,b)
f(a)=f(b)
тогда существует точка С из (a,b) такое что f’(c)=0.
Теорема Лагранжа.
Пусть
1)f(x)-непрерывна на [a,b]
2) существует производная в каждой точке интервала (a,b), существует точка С из (a,b)
Теорема Коши.
1)Пусть f(x) и g(x) непрерывны на [a,b],
2)Существует производная f'(x) и g’(x) на интервале (a,b)
3)g’!=0 на (a,b)
Тогда существует точка С из (a,b) такая что:
Формула Тейлора с формами Лагранжа и Пеано остаточного члена.
Лагранжа
Пеано
Применение дифференциального исчисления к исследованию функций: монотонность, экстремумы, выпуклость.
Утв.: Пусть f(x) дифференцируема на (a,b), тогда если:
f’(x)>0 ф-ия возрастает f’(x)
f’(x) 0 ф-ия не убывает f’(x)
f’(x) =0 ф-ия f(x)=const f’(x)
f’(x) 0 ф-ия не возрастает f’(x)
f’(x)>0 ф-ия убывает f’(x)
Опр.: Ф-ия f(x) имеет максимум(минимум) (экстремум ф-ии), если такая, что ( )
Теорема 1: Пусть в окрестности точки конечная производная ф-ии f(x) и справа от , и слева от производная сохраняет определенный знак
Если f’(x) при переходе ч/з меняет знак «+» на «-», то точка явл-ся точкой строгого максимума
Если f’(x) при переходе ч/з меняет знак «-» на «+», то точка явл-ся точкой строгого минимума
Если f’(x) при переходе ч/з не меняет знак, то экстремума нет
Теорема 2: Пусть f(x) имеет производную f ’(x) в окрестности точки и производную f ”(x) в точке и f ’( )=0.
Если f ”( )>0, то - точка минимума
Если f ”( )<0, то - точка максимума
Теорема 3: Пусть ф-ия f(x) имеет в точке производный до порядка n включительно. Если
f ’( )=f ”( )=…= и , то при нечетном n в точке нет экстремума, а при четном n точка явл-ся точкой экстремума, причем если - точка минимума
если – точка максимума
Опр.: График ф-ии наз-ся выпуклым вверх (вниз) в точке , если окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности касательная к кривой в точке расположена выше (ниже) кривой.
Опр.: Ф-ия выпукла вверх (вниз) на [a,b], если каждая дуга графика этой ф-ии лежит не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.
Опр.: Точка перегиба – точка графика дифференцируемой ф-ии, при переходе ч/з которую график меняет выпуклость вверх на выпуклость вниз или наоборот.
Теорема 4: Если 2ая производная ф-ии y=f(x) положительна (отрицательна) на (a,b), то график этой ф-ии явл-ся выпуклым вниз (вверх) на этом интервале.
Теорема 5: Если 2ая производная ф-ии y=f(x) обращается в точке в 0 и при переходе ч/з эту точку меняет знак, то точка ( ) графика данной ф-ии явл-ся точкой перегиба.
Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.
I. Пусть
1)f(x) и g(x) определены на (a,b)
2)
3) На [a,b] существует конечная производная f’(x) и g’(x) при чем g’(x)!=0
4)существует конечный или нет
Тогда
II. Пусть
1)f(x) и g(x) определены на [c,+∞)
2)
3) На [c,+∞) существует конечная производная f’(x) и g’(x) при чем g’(x)!=0
4)существует конечный или нет
Тогда
III. Пусть
1)f(x) и g(x) определены на [a,b],
2)
3) На [a,b] существует конечная производная f’(x) и g’(x) при чем g’(x)!=0
4)существует конечный или нет
Тогда
Открытые и замкнутые множества.
Множество, целиком состоящее из внутренних точек, называется открытым.
Множество называется открытым, если оно содержит каждую точку вместе с Е (эпсилон) окрестностью.
Понятие предела функции многих переменных.
Функция имеет пределом число A, при ММ0( ), если для:
Двойные и повторные пределы.
Дифференцируемость функции многих переменных.
Дифференциал функции многих переменных.
Частные производные функции многих переменных.
Частная производная функции f(x,y,z) в точке (x0,y0,z0) называется
Производная по направлению.
Если с каждой точкой М, определенной пространственной области, связана некоторая скалярная или векторная величина, то говорят, что задано поле этой величины, соответствующее скалярное или векторное.
Пусть l-направленная прямая, Мо принадлежит l фиксированная точка. М принадлежит l-движется. Будем считать величину направленного отрезка МоМ>0, если направление МоМ совпадает с направлением оси l и <0 иначе.
Производной функции V(M) в точке Мо по направлению l называется предел:
Градиент функции.
Если V(M)-скалярное поле, то вектор
-называется градиентом поля.
Формула Тейлора функции многих переменных.
Рассмотрим ф-ию 2х переменных, которые в окрестности точки ( ) имеет непрерывные производные до n+1го порядка. Придадим приращения соответственно.
Утв.: (0< <1), где дифференциалы dx и dy равны и .
Необходимое условие экстремума функции многих переменных.
Пусть функция u=f(x1,x2…xn) в точке ( , … ) имеется экстремум. Если в этой точке существуют конечные и частные производные, то они равны 0.
Достаточное условие экстремума функции многих переменных.
Пусть (х0,y0)-стационарная точка
1)если a11*a22- >0, то в точке (х0,y0) функция f(x,y) имеет экстремум. При чем это максимум при а11<0 и минимум при а11>0.
2) Если a11*a22-
Первообразная. Неопределенный интеграл.
F(x)-первообразная от функции f(x) на промежутке Х, если на Х F’(x)=f(x) (dF=f(x)dx)
Выражение F(x)+C, где F(x)-первообразная от функции f(x) и С произвольная постоянная называется неопределенным интегралом от функции f(x).
Таблица неопределенных интегралов.
Замена переменных в неопределенном интеграле.
Если ,
то
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
Пусть u=u(x), v=v(x)- непрерывные, дифференцируемые функции, тогда:
Интегральная сумма.
Рассмотрим задачу определения площади криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a,b] точками a=x0<x1<…<xn=b
Пусть
Площадь i-того прямоугольника yi =f( )
Тогда приближенное значение площади
S
S=lim
Определенный интеграл Римана.
Число I называется определенным интегралом Римана. если для любого Е>0 существует δ>0 такая что для любого разбиения с |λ| <δ и для любого выбора точек c|I-σ|<E, где:
Необходимое условие интегрируемости (определенный интеграл).
Пусть f(x) интегрируема на [a,b], тогда она ограничена на [a,b].
Достаточное условие интегрируемости (определенный интеграл).
Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было:
,
Где
Первая теорема о среднем.
Пусть:
g(x) и f(x) интегрируемы на [a,b],
g(x) не меняет знак на [a,b],
тогда:
,
Где:
Если при это f(x) непрерывна, то , где с из[a,b].
Вторая теорема о среднем.
Пусть:
1)g(x) и f(x) интегрируемы на [a,b]
2) g(x) монотонна на [a,b]
Тогда:
Формула Ньютона-Лейбница.
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Замена переменных в определенном интеграле.
Пусть
.
Пусть на существует непрерывная производная , тогда для любой непрерывной функции f(x) верна формула:
Длина кривой. Вычисление длины кривой.
Несобственный интеграл Римана.
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
Для сходимости несобственного интеграла:
Необходимо и достаточно, чтобы:
Абсолютная (условная) сходимость несобственного интеграла.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.
Если интеграл сходится, но не абсолютно, то его называют условно сходящимся.
Интеграл:
Называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл:
Теорема сравнения (несобственный интеграл).
Если существует
и f(x)
То из сходимости
а из расходимости 1ого интеграла при k>0 следует расходимость 2ого.
При 0<k< оба интеграла сходятся или расходятся одновременно.
Признак Абеля-Дирихле сходимости интеграла.
Пусть f,g определены на [a, ] и интегрируемы на [a,A] для любого А>а . Тогда сходится, если выполняется:
Либо пара условий
Либо пара условий:
Ф(b)= -ограничена
g(x)-монотонна стремится к нулю при x
Числовой ряд. Сходимость числового ряда.
Пусть дана числовая последовательность:
Их сумма называется числовым рядом, а числа членами ряда:
Если последовательность {Sn} имеет конечный или бесконечный предел S, то он называется суммой ряда. Если эта сумма конечна, то ряд называется сходящимся.
Теоремы сравнения.
Теорема сравнения 1.
Пусть даны 2 положительных ряда:
Если, начиная с некоторого номера N для всех n>N выполнено:
То из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2), а из расходимости (1) следует расходимость (2).
Теорема сравнения 2.
Пусть ряды (1) и (2) положительные и для любого n . Пусть существует предел:
)
Если ряд (2) сходится к k< , то сходится (1). Если (2) расходится и k>0, то ряд (1) расходится(если то оба ряда расходятся или сходятся одновременно)
Теорема сравнения 3.
Пусть (1) и (2) положительные ряды и для любого n , . Пусть, начиная с некоторого N выполнено:
Тогда из сходимости (2) следует сходимость (1).
Признаки сходимости положительных рядов: Коши, Даламбера, Раабе, интегральный признак Коши.
Коши:
Пусть существует предел: