Решение
а) Потребитель достигает максимума полезности при заданном доходе, если
а то
отсюда
(1)
Бюджетное уравнение Федора имеет вид:
600 = 25X + 30Y. (2)
Подставив в (2) значение (1), получим: 600 = 25X + 30 5/6X.
Отсюда: X = 12, Y = 10.
б) Теперь уравнение (1) примет вид:
отсюда Y = 5/6X, а бюджетное уравнение: 600 = 25X + 40 5/8Y.
Следовательно, X = 12; Y = 7,5.
в) Из решения пункта а следует, что при исходном уровне цен уровень полезности Федора состав놆††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††; Y = 8,65.
Эффект замены: X = 13,86 – 12 = 1,86;
Y = 8,65 – 10 = –1,35.
Эффект дохода: X = 12 – 13,86 = –1,86;
Y = 7,5 – 8,65 = –1,15.
г) Для того, чтобы Федор достиг уровня удовлетворения, равного 120, при PX = 25, PY = 40, он должен располагать доходом: I = 25 × 13,86 + 40 8,65 = 692,5.
Задача 3
Дана функция спроса QD = 8 – 0,5P, где QD – объем спроса в млн. штук, P – цена в ден. ед.
Определить коэффициент прямой эластичности спроса по цене, если цена равна 6 ден. ед.
Решение
Находим объем спроса:
QD = 8 – 0,5P = 8 – 0,5 6 = 5 млн. шт.
Затем коэффициент прямой эластичности спроса по цене:
Так как коэффициент эластичности по модулю меньше 1, то спрос на данный товар неэластичен.
Задача 4
Функция полезности индивида имеет вид U(A, B) = A2B, где A и B - потребляемые им блага. Доход индивидуума равен I.
Вывеcти его функцию спроса на благо A.
Решение
Условием максимизации полезности индивидуума при потреблении двух благ является:
или
В условиях задачи это означает:
(1)
Из бюджетного уравнения индивидуума следует:
Подставив это значение B в (1), получим:
отсюда
Задачи
Количественный подход к анализу полезности и спроса
1. Предельная полезность первого килограмма апельсинов равна 30 ютилам, второго – 20 ютилам, третьего – 10 ютилам. Предельная полезность первого килограмма груш равна 100 ютилам, второго – 60 ютилам, третьего – 50 ютилам. Цена одного килограмма апельсинов – 60 ден. ед. за 1 кг, 1 кг груш – 120 ден. ед.
Определить оптимальный объем потребления апельсинов и груш, если потребитель готов истратить на эти товары 300 ден. ед.
2. Для потребителя безразлично, какую из следующих комбинаций яблок и апельсинов выбрать:
-
Яблоки
10
11
12
13
14
Апельсины
15
11
8
5
3
Если потребитель покупает 12 яблок и 8 апельсинов, каково отношение цены яблок к цене апельсинов?
3. Индивидуум составил для себя следующую таблицу предельной полезности трех благ (в ютилах):
Номер порции |
Хлеб |
Молоко |
Сахар |
I |
15 |
12 |
10 |
II |
10 |
11 |
8 |
III |
8 |
10 |
6 |
IV |
7 |
7 |
3 |
V |
5 |
6 |
1 |
Имея 25,2 ден. ед., он купил 3 кг хлеба по цене 2 ден. ед./кг; 4 литра молока по цене 2,8 ден. ед./л; 2 кг сахара по цене 4 ден. ед./кг.
а) Докажите, что индивидуум не достиг максимума полезности при своем бюджете.
б) Определите набор благ, обеспечивающий максимум полезности индивидууму при его бюджете.
4. Функция общей полезности индивида от потребления блага X имеет вид TU(X) = 22X – X2, а от потребления блага Y – TU(Y) = =28Y – 2Y3. Он потребляет 5 ед. блага X и 2 ед. блага Y. Предельная полезность денег () равна 1/3.
Определить цены товаров X и Y.
5. Функция полезности индивидуума от потребления блага X имеет вид: TU(X) = 23X – X2, а от потребления блага Y: TU(Y) = 36Y – – 2Y3. Индивидуум потребляет 4 ед. блага X и 2 ед. блага Y. Цена блага X равна 8 ден. ед.
Определите цену товара Y.
6. Общая (TU) и предельная (MU) полезности товаров А, В, С в зависимости от объема потребления Q представлены в таблице:
-
Количество
Товар
товара,
А
В
С
Q
TU
MU
TU
MU
TU
MU
1
…
14
12
…
11
…
2
…
11
24
…
…
9
3
…
9
32
…
28
…
4
…
6
37
…
32
…
5
…
4
39
…
…
2
а) Заполните пропущенные значения в таблице.
б) Представьте функции спроса на товары А, В, С таблично и графически, если 1 усл. ед. полезности равна 0,5 ден. ед.
7. Какая из следующих функций предельной полезности противоречит первому закону Госсена и почему?
а) MU (X) = 20/(X + 1);
б) MU (X) = 20 + 1/(X + 1);
в) MU (X) = 20 – X;
г) MU (X) = 20 + X.
8. Каждую чашку чая индивид потребляет только с тремя ложками
сахара. Какая из следующих функций полезности правильно описывает вкусы индивида и почему (при условии, что единицы измерения соответственно чашки (X) и ложки (Y))?
а) U(X,Y) = 3X Y;
б) U(X,Y) = X + Y;
в) U(X,Y) = X Y(3X + Y);
г) U(X,Y) = min {X, 3Y}.
9. Индивидуум абсолютно безразличен в выборе между равными количествами цейлонского чая (X) и индийского чая (Y). Функция полезности этого индивидуума будет выглядеть как:
а) U(X, Y) = X Y;
б) U(X, Y) = X + Y;
в) U(X, Y) = max {X, Y};
г) U(X, Y) = X2.
Поясните Ваш ответ.
10. Функция полезности индивидуума от потребителя блага X имеет вид TU(X) = 12X – X2.
а) Определить функцию предельной полезности на благо X и функцию спроса.
б) Рассчитать объем потребления блага X, если цена равна 7, 8, 10 ден. ед. за штуку.
в) Произвести расчеты, если функция полезности примет вид: TU(X) = 18X – 2X2.
11. Функция предельной полезности блага имеет вид: MU(X) = 20 – 2X. Если одна единица полезности равна 1 ден. ед., при какой цене покупатель откажется от приобретения этого блага?
12. Функции индивидуального спроса на блага X и Y имеют вид: QDX = 100 – PX; QDY = 50 – PY. Блага измеряются в одинаковых единицах. Как соотносятся между собой кривые предельной полезности этих благ?
13. Функция полезности индивидуума имеет вид: TU = X0,4 Y0,5 ×Z0,1, а бюджет равен I.
а) Вывести функции спроса на блага X, Y, Z.
б) Определить функции спроса, если функция полезности примет вид: TU = X0,5 Y0,5 Z0,5.
14. Функция полезности индивидуума квазилинейна и имеет вид: . Известно, что . Вывести функции спроса на блага X и Y, составив функции Лагранжа.
15. Функция полезности индивидуума имеет вид: TU = X Y Z, доход потребителя составляет 45 ден. ед., цены благ X, Y и Z равны, соответственно, 4, 3, 5.
а) Определить оптимальный набор благ для индивидуума.
б) Определить оптимальный набор, если доход увеличится до 55 ден. ед., а цены составят: 5, 2, 6.
16. На основе графиков функций общей полезности построить графики функций предельной полезности.