Классическое определение вероятности
Определение. Вероятностью события А называется отношение
количества благоприятствующих событию А исходов
к общему количеству равновозможных, единственно возможных, несовместных исходов:
P(A) = ,
где n - общее количество равновозможных, единственно возможных, несовместных исходов;
m - количество благоприятствующих исходов событию А.
Классическое определение не всегда применимо на практике, так как:
должны быть наперед известны количество всех элементарных исходов и число исходов, благоприятствующих событию А;
2) все элементарные исходы должны быть равновозможные, что далеко не всегда имеет место.
4. Статистическое определение вероятности
Проведем серию статистических наблюдений:
n - количество наблюдений;
m - число появлений события А.
W(A) = - относительная частота появления события А.
P(A) W(A)
Свойство вероятностей
P(A) = , где 0 m n.
Если событие А достоверное, то Р(А) = 1.
Оно обязательно появится в результате испытания,
m = n. (все исходы благоприятствуют событию А)
Если событие А невозможное, Р(А) = 0.
Оно никогда не появится в результате испытания,
m=0. (нет исходов, благоприятствующих событию А).
Если событие А случайное, то 0 < P(A) <1.
Оно может появиться или не появиться в результате испытания,
0 < m <n. (есть исходы благоприятные и неблагоприятные для события А)
P(A) 1.
Геометрическое определение вероятности
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).
Пусть отрезок составляет часть отрезка . На отрезок наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений:
Поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка , вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка . В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством
На плоскости задана область G, имеющая площадь . В области G содержится область g площади .
В область G наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Пусть событие А – попадание брошенной точки в область g, тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой
Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область G объема , содержащую область объема :
Геометрическая вероятность
- мера множества (длина, площадь, объем)
Пример. В круг вписан квадрат. В круг наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в квадрат?
Решение. Пусть R – радиус круга, а- сторона вписанного квадрата. Событие А – попадание точки в квадрат, S – площадь круга, - площадь вписанного квадрата. Имеем . Следовательно,