Занятие 3. Вершинная и реберная связность графов. Расстояния в графе.

Изоморфизм графов. Разрезы в графе.

26. Докажите неравенство , где - вершинная связность графа G, - реберная связность, - минимальная степень вершины графа.

27. Найдите радиус, диаметр и центр

а) графа G из задачи 23; б) графа Н₄ из задачи 31.

28. Докажите, что для любого графа G .

29. Докажите, что для каждого графа G, содержащего цикл, справедливо неравенство: , где - длина наименьшего цикла в графе G.

30. Докажите, что в графе G радиуса не более k с максимальной степенью вершины не более d имеется не более вершин.

31. Изоморфны ли данные графы? Ответ обоснуйте.

а) G₁ G₂

б) H₁ H₂

в) G₃ G₄

г) H₃ H₄

32. Исследуйте данные тройки графов на попарную изоморфность.

а) G₁ G₂ G₃

б) Н₁ Н₂ Н₃

в

) G₄ G₅ G₆

33. Пусть связные графы G и H имеют по 6 вершин и по 8 ребер. У графа G ровно 2 вершины степени 2, а граф Н имеет ровно 4 вершины степени 3. Можно ли утверждать, что графы G и H

а) изоморфны? б) не изоморфны?

34. Сколько существует попарно неизоморфных графов с а) 16 вершинами и 118 ребрами? б) 16 вершинами и 117 ребрами?

3

5. Найти минимальный разрез и цикломатический набор ребер в следующих графах:

G: H:

Занятие 4. Деревья. Двудольные, эйлеровы и гамильтоновы графы

36. Составьте коды для данных деревьев:

Т₁ Т₂

37. Даны коды деревьев:

а) (0100011001101011); б) (00101001110001010111).

Сколько вершин имеет каждое из этих деревьев? Постройте соответствующие деревья.

38. Докажите, что в каждом дереве есть не менее двух листьев.

39. Сколько существует неизоморфных между собой деревьев с 6 вершинами?

40. Сколько ребер имеет лес с p вершинами и n деревьями?

41. Докажите, что графы G и H не содержат циклов нечетной длины.

G: H:

42. Завуч школы должен составить расписание одного учебного дня для одного класса (все 4 предмета в расписании должны быть разные) с учетом следующих обстоятельств:

1. учитель истории может дать либо первый, либо второй, либо третий уроки, но

только один урок;

2. учитель литературы может дать один, либо второй, либо третий урок;

3. математик готов дать либо только первый, либо только четвертый урок;

4. преподаватель физкультуры согласен дать только третий или четвертый уроки.

Сколько и каких вариантов расписания, удовлетворяющего всем вышеперечисленным условиям одновременно, может составить завуч?

43. Приведите пример связного графа с циклами, который является

а) эйлеровым, но не гамильтоновым; б) гамильтоновым, но не эйлеровым;

в) не эйлеровым, и не гамильтоновым.

44. Доказать, что в любом полном графе, имеющем не менее 3 вершин, есть гамильтонов цикл.

45. Доказать критерий полуэйлеровости графа: связный граф G обладает эйлеровой цепью в том и только том случае, если он имеет ровно 2 вершины нечетной степени.

46. Доказать необходимое условие гамильтоновости графа: если граф G является гамильтоновым, то в нем отсутствуют разделяющие вершины.

47. Доказать, что в пронумерованном полном графе K_p имеется (p-1)!/2 различных гамильтоновых циклов.

48. Существуют ли в полном двудольном графе K_3,3 и в графе G, заданном на рисунке, эйлеров цикл, гамильтонов цикл, эйлерова цепь, гамильтонова цепь? Укажите их или докажите их отсутствие.

G:

49. Доказать, что граф, у которого имеются 2 несмежные вершины 3-ей степени, а остальные имеют степень не большую, чем 2, не обладает гамильтоновым циклом.

5

0. Является ли данный граф гамильтоновым?

51. Докажите, что любой граф с р вершинами, имеющий не менее ребер, имеет гамильтонов цикл.

Занятие 5. Планарные графы. Раскраска графов

5

2. Являются ли следующие графы планарными? Ответ обосновать.

а) G₁: б) G₂:

в

) H: г) P – граф Петерсена:

53. Докажите, что в любом планарном графе существует вершина, степень которой не больше 5.

54. Доказать, что если у связного планарного графа с р вершинами и q ребрами каждый простой цикл содержит не менее n ребер, то .

55. Плоский связный граф, каждая грань которого, включая и внешнюю, ограничена циклом длины 3, называется триангуляцией. Покажите, что всякая триангуляция с вершинами имеет 3р-6 ребер и 2p-4 граней.

56. Докажите, что в любом планарном графе, имеющем не менее 4 вершин, найдутся по меньшей мере 4 вершины степени не больше 5.

57. Найдите хроматические числа и хроматические индексы графов G₁ и G₂, а также графов Н и Р из задачи 52.

G

₁ G₂

58. Докажите неравенство для хроматического числа графа .

Раскраска графов

Исторически раскрасочная терминология пришла в теорию графов из задачи о раскраске стран на карте: “Сколько цветов требуется для раскраски различных стран на карте так, чтобы каждые 2 смежные страны были окрашены по-разному?” Эта задача сводится к проблеме определения максимального хроматического числа плоских графов. По одним сведениям, об этой задаче знал еще в 1840 г. немецкий математик Мёбиус. По другим же данным она возникла в 1852 г., когда некий Франсис Гатри спросил своего брата Фредерика, в то время студента-математика в Кембридже, верно ли, что каждую карту можно окрасить в четыре цвета так, чтобы смежные страны имели разные цвета. Эта задача, получившая название проблемы (гипотезы) четырех красок, была впервые предложена вниманию общественности в выступлении Кэли на заседании Лондонского математического общества в 1878 г.

Теорема о 4 красках. Всякий плоский граф можно раскрасить четырьмя красками.

Годом позже Кемпе опубликовал неправильное доказательство, которое было в 1890 г. переделано Хивудом в доказательство теоремы о пяти красках.

Теорема о пяти красках. Всякий плоский граф можно раскрасить пятью красками.

В 1880 г. Тейт анонсировал “дальнейшие доказательства” гипотезы четырех красок, которые так и остались нематериализованными.

В 1941 г. Брукс улучшил оценку для хроматического числа некоторых графов.

Теорема Брукса. Если связный граф G не является ни полным графом, ни нечетным циклом, то .

В середине ХХ века при попытке решить проблему 4 красок были доказаны следующие теоремы.

Теорема Татта (1956 г.). Каждый 4-связный планарный граф имеет гамильтонов цикл.

Теорема Грёцша (1959 г.). Каждый плоский граф, не содержащий треугольника, можно раскрасить тремя красками.

Тем не менее доказать теорему о 4 красках не могли в течение 125 лет после ее первоначальной формулировки и в течение 99 лет после ее формулировки для научной общественности.

Первое общепризнанное доказательство теоремы о четырех красках было опубликовано Аппелем и Хакеном в 1977 г. Доказательство основано на идеях, восходящих еще к статье Кемпе и далеко продвинутых Биркгофом и Хеешем. Говоря очень приблизительно, доказательство сводится, во-первых, к утверждению, что каждая плоская триангуляция (т.е. плоский связный граф, каждая грань которого, включая и внешнюю, ограничена циклом длины 3) должна содержать, по крайней мере, одну из 1482 «неизбежных конфигураций» (конфигурация – это связный подграф плоского графа; более подробно см. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров. М.: Энергоатомиздат, 1988. 2-е изд.). На втором этапе с помощью компьютера показывается, что каждая из этих конфигураций «редуцируема», т.е. что любая плоская триангуляция, содержащая такую конфигурацию, может быть 4-раскрашена, исходя из 4-раскрасок меньших триангуляций. Вместе взятые эти два шага составляют индуктивное доказательство того, что все плоские триангуляции, а следовательно, и все плоские графы можно раскрасить в четыре цвета.

Доказательство Аппеля и Хакена не было обойдено критикой, и не только из-за использования ими компьютера. Авторы ответили 741-страничной алгоритмической версией доказательства, которая учитывает различные критические замечания и исправляет множество ошибок (например, ими добавлено еще 450 конфигураций к «неизбежному» списку): Appel K., Hakeп W. Every Planar Map is Four Colorable. Providence: Amer. Math. Soc. 1989. (Contemporary Mathematics; 98). В результате, компьютер, проработав 1500 часов, показал, что из 1932 конфигураций 1931 редуцируема. Последнюю конфигурацию исследовали вручную, применив более тонкие методы редукции, не заложенные в программу. Проверка показала, что и эта конфигурация редуцируема. Так проблема четырех красок была решена.

Гораздо более короткое доказательство, которое основано на тех же идеях (и, в частности, использует компьютер таким же образом), но более доступно проверке как в текстовой, так и в компьютерной части, дано в статье: Robertson N., Sanders D., Seymour P.D., Thomas H. The four-colour theorem // J. Combin. Theory. Ser. B. 1997. V. 70. P. 2-44.

11