Подання топологічних рівнянь.

Відомий ряд методів формування математичних моделей систем на макрорівні. Одержувані з їхньою допомогою моделі розрізняються орієнтацією на ті або інші чисельні методи рішення й набором базисних змінних, тобто фазових змінних, що залишаються в рівняннях підсумкової математичної моделі системи. Загальним для всіх методів є вихідна сукупність топологічних і компонентних рівнянь.

При записі топологічних рівнянь зручно використати проміжну графічну форму - подання моделі у вигляді еквівалентної схеми, що складається з двополюсних елементів.

Спільність підходу при цьому зберігається, тому що будь-який багатополюсний компонент можна замінити схемою з двополюсників. У свою чергу еквівалентну схему можна розглядати як спрямований граф, дуги якого відповідають віткам схеми. Напрямки потоків у вітках вибираються довільно (якщо реальний напрямок при моделюванні виявиться протилежним, те це приведе лише до негативних чисельних значень потоку).

Приклад деякої простої еквівалентної схеми й відповідного їй графа наведена на мал. 3.6. Для конкретності й простоти викладу на мал. 3.6 використані умовні позначки, характерні для електричних еквівалентних схем. Вказані вище аналогії дозволяють при необхідності легко перейти до позначень і термінів, звичним для механіків.

Для одержання топологічних рівнянь всі вітки еквівалентної схеми розділяють на підмножини хорд і віток дерева. Мається на увазі покриваюче (фундаментальне) дерево, тобто підмножина з β-1 дуг, які не утворюють жодного замкнутого контуру, де β — число вершин графа (вузлів еквівалентної схеми). На рис. 3.6,2 показаний граф еквівалентної схеми рис. 3.6.1, товстими лініями виділено одне з можливих покриваючих дерев.

Вибір дерева однозначно визначає вектор напруг Uх і струмів Ix хорд, напруг Uвд і струмів Iвд віток дерева і приводить до запису топологічних рівнянь у вигляді .

.

де М — матриця контурів і перетинів, MT — транспонована М матрица. У М-матриці число рядків відповідає числу хорд, число стовпців дорівнює числу віток дерева. М-матриця формується в такий спосіб. По черзі до дерева підключаються хорди. Якщо при підключенні до дерева р-ї хорди q-та вітка входить у контур, який утворився, то елемент матриці дорівнює +1 при збігу напрямків вітки і підключеної хорди, = -1 при розбіжності напрямків. У противному випадку = 0.

.

Для схеми на мал. 3.6 М-матриця представлен у вигляді табл. 3.1 Вихідну систему компонентних і топологічних рівнянь можна розглядати як остаточну математичну модель системи, що і підлягає чисельному рішенню. Чисельне рішення цієї системи рівнянь припускає алгебризацію диференціальних рівнянь, наприклад, за допомогою перетворення Лапласа або формул чисельного інтегрування. У програмах аналізу нелінійних об'єктів на макрорівні, як правило, застосовуються формули чисельного інтегрування, прикладом яких може служити неявна формула Эйлера .

.

де Vi — значення змінної V на i-му кроці інтегрування; hn = tn — tn-1 — крок інтегрування.

Алгебризація передбачає попередню дискретизацію незалежної змінної t (замість безперервної змінної t одержуємо кінцеву множину значень tn), вона полягає в поданні математичної моделі системи у вигляді системи рівнянь .

з невідомими Vn й Zn, де використане позначення Z = d/dt. Цю систему алгебраїчних рівнянь, у загальному випадку нелінійних, необхідно вирішувати на кожному кроці чисельного інтегрування вихідних диференціальних рівнянь.

Однак порядок цієї системи досить високий і приблизно дорівнює де - число віток еквівалентної схеми (кожна вітка дає дві невідомі величини - фазові змінні типу потоку і типу потенціалу, за винятком віток зовнішніх джерел, у кожної з яких невідома лише одна фазова змінна), - число елементів у векторі похідних. Щоб знизити порядок системи рівнянь і тим самим підвищити обчислювальну ефективність математичної моделі, бажано виконати попереднє перетворення моделі (у символічному виді) перед її багатокроковим чисельним рішенням. Попереднє перетворення зводиться до виключення з системи частини невідомих і відповідного числа рівнянь. Невідомі, які залишилися називають базисними. Залежно від набору базисних невідомих розрізняють кілька методів формування математичної моделі системи.

Відповідно до методу змінних стану вектор базисних змінних W складається зі змінних стану. Цей вектор включає ненадлишкову множину змінних, що характеризують накопичену в системі енергію. Наприклад, такими змінними можуть бути швидкості тіл, ємнісні напруги, індуктивні струми й т.д. Очевидно, що число рівнянь не перевищує γ. Крім того, підсумкова форма математичної моделі системи виявляється наближеною до явної форми подання системи диференціальних рівнянь, тобто до форми, у якій вектор d/dt явно виражений через вектор W, що спрощує подальше застосування явних методів чисельного інтегрування. Метод реалізується шляхом особливого вибору системи хорд і віток дерева при формуванні топологічних рівнянь. Оскільки явні методи чисельного інтегрування диференціальних рівнянь не знайшли широкого застосування в програмах аналізу, то метод змінних стану також губить актуальність і його застосування є досить рідким.

У класичному варіанті вузлового методу як базові змінні використаються вузлові потенціали (тобто швидкості тіл відносно інерційної системи відліку, абсолютні температури, перепади тиску між модельованим і зовнішнім середовищем, електричні потенціали щодо базового вузла). Число вузлових потенціалів і відповідно рівнянь у моделі є рівним , де - число вузлів в еквівалентній схемі. Звичайно значно менше ніж , а отже, порядок системи рівнянь у моделі знижений більш ніж у два рази в порівнянні з порядком вихідної системи.

Модифікований вузловий метод. Матрицю контурів і перетинів М у вузловому методі формують у такий спосіб. Вибирають базовий вузол еквівалентної схеми і кожен з інших вузлів з'єднують із базовим уявною віткою. Саме уявні вітки приймають як вітки дерева, а всі реальні вітки виявляються в числі хорд. Оскільки струми уявних віток рівні нулю, а вектор напруг уявних віток є вектор вузлових потенціалів , то рівняння моделі приймають вид .

.

де U й I- вектори напруг і струмів реальних віток.

Компонентні рівняння алгебруються з допомогою однієї з формул чисельного інтегрування, лінеаризуюються за допомогою розкладу в ряд Тейлора зі збереженням тільки лінійних членів, і їх представляють у вигляді .

.

де Gn — діагональна матриця провідностей, розрахована в точці tn; — вектор, що залежить від значень фазових змінних на попередніх кроках інтегрування і тому вже відомий до моменту часу tn. Кожна вітка (за винятком ідеальних джерел напруги) має провідність, що займає одну з діагональних кліток матриці провідностей.

Остаточно модель одержуємо, підставляючи (3.18) і потім (3.16) в (3.17): .

.

Або де — матриця Якоби, — вектор правих частин. Відзначимо, що матриця M має розмір матриця Gn — а матриця Якоби — .

Система є системою лінійних алгебраїчних рівнянь, отриманої в результаті дискретизації незалежної змінної, алгебрування диференціальних рівнянь і лінеаризації алгебраїчних рівнянь. Алгебрування приводить до необхідності покрокового обчислювального процесу інтегрування, лінеаризація - до виконання ітераційного обчислювального процесу на кожному кроці інтегрування.

Розглянемо, яким чином визначаються провідності віток.

Для резистивних віток провідність — величина, зворотна опору R.

При використанні неявного методу Ейлера провідність ємнісної вітки виходить із її компонентного рівняння в такий спосіб.

На n-м кроці інтегрування .

.

провідність і при С = const одержуємо

При цьому у вектор правих частин входить елемент .

Провідність індуктивної вітки можна знайти аналогічно: і при L = const .

Аналогічно визначають провідності і при використанні інших різницевих формул чисельного інтегрування, загальний вид яких

де залежить від кроку інтегрування, — від значень вектора U на попередніх кроках.

Класичний варіант вузлового методу має обмеження на застосування. Так, неприпустимі ідеальні (з нескінченною провідністю) джерела напруги, залежні джерела, аргументами яких є струми, а також індуктивності, оскільки в класичному варіанті струми не входять до числа базисних змінних. Усунути ці обмеження досить просто — потрібно розширити сукупність базисних координат, включивши в неї струми-аргументи залежних джерел, а також струми віток індуктивних і джерел напруги. Отриманий варіант методу називають модифікованим. Відповідно до модифікованого вузлового методу, у дерево при побудові матриці М включають вітки джерел напруги а потім уявні вітки. В результаті матриця М приймає вид (табл. 3.2), де введені позначення: — джерела напруги, що залежать від струму; E(t) — незалежні джерела напруги; — джерела струму, що залежать від струму; L — індуктивні вітки; Mij — підматриця контурів хорд групи i та перетинів уявних віток групи j.

Ті ж позначення Uист, I, E, Iист будемо використати і для відповідних векторів напруг і струмів. Назвемо вітки, струми яких є аргументами у виразах для залежних джерел, тобто входять у вектор I, особливими вітками. Інші вітки (за винятком індуктивних) — неособливі. Введемо також позначення: IL — вектор індуктивних струмів; I, і U, — вектори струмів і напруг неособливих віток; G,, GL, GI — діагональні матриці провідностей віток неособливих, індуктивних, особливих.

Рівняння закону струмів Кірхгофа для уявних віток має вигляд

Виключимо вектор I, за допомогою компонентного рівняння, а вектор Iист за допомогою очевидного виразу.

Iист = KI, де K = (∂Iист/∂I) — матриця передаточних коефіцієнтів джерел струму. Використаємо також вираз, що приймає вид .

Одержуємо систему із трьох матричних рівнянь із невідомими векторами I й IL:.

.

де позначено R = (∂Uист/∂I). Ця система і є підсумковою математичною моделлю у вузловому модифікованому методі.