30. Понятие спрямляемой кривой. Вычисление длины гладкой прямой.

Кривая АВ называеться спрямляемой если множество длин всех вписанных в нее ломанных линий ограниченно сверху (не все спрямляемые).

L(AB)=Sup{L(p)} p – перриметр вписанных в (АВ) ломанных линий.

Теорема: Если f имеет на [a;b] непрямую производную, то ее график спрямляемая кривая, причем

L=

Если функция имеет непрямую производную то у нее график называеться графиком кривой.

Док-во: 1. Спрямляемость: Рассмотрим вписанную в кривую АВ ломанную линию.

|A_i-1 A|=((x_i-x_i-1)² + (y_i-y_i-1)²)^1/2 =по ф. Лагранжа=((x_i-x_i-1)² + (f(C_i)* (x_i-x_i-1))²)^1/2=(C_i ϵ [x_i-1 ; x_i])=(1+(f’(C_i))²)^1/2*▲x_i

p= = (1+(f’(C_i))²)^1/2*▲x_i (*)

Рассмотрим ф-ю g(x)=(1+(f’(x))²)^1/2 на [a;b] непрерывна =(по т. Вейерштрасса)> она ограниченна сверху => Существует M ϵ R: для любого x ϵ [a;b] (g(x)≤M) (**)

(*)и(**) => p≤ = =M*(b-a) ч.т.д.

2. Вычисление длины прямой по формуле 1: Идея док-ва основываеться на: 1) ф-я g(x) непрерывна на [a;b], значит интеграл(1) существует. 2) длина вписанной ломанной линии P является интегральной суммой именно интеграла(1) поэтому при изменении шага дробления [a;b] р обязанно стремиться к интегралу, т.е. р→i при лямбда→0. 3) р→к длине АВ при лямбда→0.

33. Общая схема применения определенного интеграла в физике. Примеры.

Центр тяжести материальной кривой это точка С обладающая следующими свойствами:

Если в нее поместить массу всей кривой, то у этой точки статические моменты относительно осей О_х и О_у будут совпадать со статическими моментами самой кривой.

Формула для вычисления координат центра тяжести материальной кривой:

X_c= =

Y_c= =

Когда плотность распределения вещества одинакова, тогда m=L*ρ

M_x= ρ* * dx

Y_c*L* ρ= ρ* => (2π Y_c)*L=p (1-ая теорема Гульдена)

________________________ 34. Понятие несобственного интеграла 1-го рода. Свойства. Признаки сходимости.

Опр. Несобственный интеграл 1-го рода это интеграл от ограниченной ф-ции на неограниченном промежутке.

= (1-й подвид)

= (2-й подвид)

= + (3-й подвид)

Если неопределенный интеграл существует (т.е. равен числу), то он называеться сходящимся, в остальных случаях он называеться расходящимся.

Свойства: Если f(x) и g(x) непрерывны на [a;+ ), любое X≥a 0≤f(x)≤g(x) то:

1)Если НИ от g(x) сходиться, то он сходиться и от f(x)

– сходиться => – сходиться.

2)Если НИ от f(x) расходиться, то он расходиться и от g(x)

– расходиться => – расходиться.

Для несобственных интегралов выполняются привычные арифметические свойства и методы интегрирования.

35.Поняти несобственного интеграла 2-го рода. Свойства. Признаки сходимости.

Опр. Несобственные интегралы 2-го рода это интегралы от неограниченных функций на ограниченном промежутке.

Y=f(x)- непрерывна на [a;b) и в окресностях точки b неограниченна; Ԑ>0

F непрерывна на [a; b-Ԑ] c [a;b)

Существует

=def= - опр-е несобств. Интеграла 2-го рода. (*)

Когда (*) существует (конечен), тогда интеграл наз-ся сходящимся.

Когда сущ-ет но бесконечен, то интеграл наз-ся расходящимся.

Свойства: признак сравнения, достаточное условие сходимости f(x)-как выше, g(x)-такая же, но имеет на [a;b] сходящийся интеграл.

Любое x ϵ[a;b): |f(x)|≤g(x)

Когда это все выполняется, то тогда (*) – сходящийся.

43) Производная высших порядков. Формула Лейбница

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,

f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const и d2x = d3x = ... = dnx = 0.

В этом случае справедлива формула

dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.

Производные n-го порядка от основных элементарных функций

Справедливы формулы

Формула Лейбница

Если u и v - n-кратно дифференцируемые функции, то

Производные n-го порядка вектор-функции, комплекснозначной и матричной функций

Если компоненты   n-кратно дифференцируемы, то  .

Аналогично для комплекснозначной функции f и матричной функции A имеем формулы:

f⁽ⁿ⁾(x) = u⁽ⁿ⁾(x) + iv⁽ⁿ⁾(x);   dⁿf(x) = dⁿu(x) + idⁿv(x);

44) Дифференциал функции. Основные его свойства. Геометрический смысл дифференциала.

Рассмотрим y=f(x) Пусть f’(Xo) (Xo – внутр. mD(f))=> Δy= , (где ΔX=X+Xo, ) прямо пропорционально от Δx ; БМФ при Δx->0 более высокого порядка чем Δx; Δy-I=II

Δy-(I) = α(Δx)->0 при Δx->0

Δy отлич от 1-го слол. пр. ч. на величину б.м более высокого порядка чем Δx

Определение: Диф-ом функции в точке Xo наз-ся произв df|X=Xo=f’(Xo)* Δx

Диф-ом независ переем совпадает с ее приращением.

df=f’(x)*dx(*)

Св-во инвариантности: (*) ост-ся верной даже если Х зависит от какой-либо переменной X=γ(t) ; y=f(γ(t)), где t – независ.перем.

dy=(f(γ(t))’dt ; dx= γ’(t)dt

(f(γ(t)))’=f’(x)* γ’(t)

dy=f’(x)* γ’(t)dt; dy=f’(x)dx

Геометрич. смысл:

MN=X-Xo ; tgα = f’(x) ; NT=MN*tgα=f’(x)Δx

Значение диф-ла = приращение ординаты касат-й при переходе OX Xo к X

Св-ва: 1) Лин.завис от Δx 2) Диф. отлич. от приращ-я но оси ΔX

29. Кубируемость тел вращения. Вычисление их объемов. Объем тел вращения. Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения. Пусть y=f(x)-непрерывна и неотрицательна на [а,в] Теорема: Всякое тело вращения кубируемо и его объем равен: V=𝜋 Теорема: Пусть задано тело а≤x≤b, тогда Р(х)- это площадь сечения, непрерывная на [а,b] Кавальери принцип состоит в следующем: если при пересечении двух тел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то объёмы тел равны между собой. Это положение (и аналогичное ему для случая плоских фигур). Если кривая ав задана параметрическими уравнениями, то V=𝜋 ; Если тело получается вращением в полярной системе координат, то V=

45) Арифм св-ва диф-ла функции. Диф-лы высших порядков.

y=f(x), Xo-внутр mD(f); df|X=Xo=f’(Xo)*ΔX ; dy=f’(x)dx

1) Однородность (возможность выноса коэф С)

f-диф-л в т Xo и C ∈R , то сущ-т d(Cf)|X=Xo=C*df|X=Xo

2) f,g – диф. в т. Хо => сущ-т d(f±g)|X=Xo=df|X=Xo ± dg|X=Xo

Док-во

df(x)=f’(x)dx (f±g)’= f’±g’ (ар св-ва дифер-я)

(f±g)’dx=( f’±g’)dx =>d(f±g)= df±dg

3) f,g – диф в т Xo => сущ-т d(f*g)|x=xo=

df|x=xo* g(Xo)+f(Xo)*dg|x=xo

Док-во: df(x)=f’(x)dx

(f*g)’= f’*g+ f*g’ (ар. св-ва диф-я)

(f*g)’dx= (f’*g+ f*g’)dx=(fdx)g+f(gdx);

d(f*g)=g(Xo)*df+f(Xo)*dg

4) f,g – диф в т Хо => g(Xo)≠0 =>

d( )’|X=Xo =

Д-во: диф в т Xo ; сущ-т ( )’(Xo)=

d( )|X=Xo=( )’(Xo)*Δx= = =

Диф-лы высших порядков:

y=f(x)-диф в некот. окр-ти Хо∈D(f) Сущ-т y’=f’(x) ∀X∈Ov(Xo). Если ф-я f’ диф-ма в т Xo то у нее в этой точке сущ-т d(df)(Xo,Δx)=d(f’(x)*Δx)|x=xo=

=(f’(x)*Δx)’|x=xo * Δx=f’’(Xo)* Δx* Δx=f’’(Xo)* Δx^2

(d^2 f’)(Xo, Δx)=f’’(Xo)* Δx^2 диф 2 порядка

d^2 f = f’’(Xo)* Δx^2

46) Т.Ферма и Ролля .Геометрический смысл

Т.Ферма если ф-ция y=f(x) диф. в т.Х₀ и Х₀-её т.экс-ма ,то f ’(X₀)=0

f ’(X₀)

X₀-т.экст-ма =>f ’(X₀)=0

Д-во:

I] ∐ Х₀-т.min=> б>0 для любого Х∈Д(f ) ⋂O_б(Х₀) : f(X) ≥ f(X_o)=>f(X)-f(X₀) ≥0=> f ’(X₀)= =

1)x>x₀=>x-x₀>0=> ≥0=>f ’(x₀) ≥0

2)x<x₀=>x-x₀<0=> 0=>f ’(x₀) 0=>f ’(x₀)=0

II] ∐ x₀-т.max (аналогично)

Необх.усл. т.экстремума f имеет в т Х₀ экстремум=>

y= x_o=0

y ’(0) x_O=0-т.min

Т.Ролля если

1)y=f(x) непр на

2)диф. на

3)f(a)=f(в) => C∈ (a;в) :f ’(C)=0

Док-во:по т.Вейерштрасса из непр. fна [a;в]=>сущ. наибол. и наименьшее значение

x₁,x₂∈[a;в] для любого x∈[a;в] f(x₁)≤f(x_O) ≤f(x₂)

1)если f стационарна f=C=>f ‘ (x)=0 для любого Х∈(a;в)=>C=

2)расм. f C=>f(x1) f(x2)=>X1 или X2∈(a;в)

∐ это Х1-т.экст.=>f ‘(x1)=0

Геометрический смысл т.Ролля

Если ф-ция обладает 1)2)3),то у неё обязательно есть т.графика с корд.(С ; f(C ) ),в сот.кас-ая горизонтальна

1)

Геом.смысл Т.Ферма

В точке на кривой имеющей абцису Хо касат. к кривой у=f(X),если она ,оказывается || оси (ОХ)

47) Т.Лагранжа

Если 1)y=f(x)непр. на [а;в] то С∈(а;в):

2)диф. на (а;в)

f(в)-f(а)=f ‘(c )(в-а)

Док-во:

Расм. g(x)=f(x)-kx- отподает (1) и(2) на [а;в].Подберём коэф. К,чтобы g(a)=g(в)< = > f(a)-k*a=f(b)-k*b

k(b-a)=f(b)-f(a)=>k= По т.Ролля С∈(a;b):g ‘(c)=0=>f ‘(c)-k=0=>k=f ‘(c)=> =>f ‘(c)= =>f ‘(c)(b-a)=f(b)-f(a)

на кривой y=f(x) м/у т.А и В найдется такая т.С касат. В кот-ой || хорде АВ

Ф-ла конечных приращений

Расм. y=f ‘(x₀+Q∆X)∆X (0<Q<1)

∐ y=f(x) удовл. Усл . Т. Лагранжа

Х_О∈[a;b]

(X_O+∆X) ∈[a;b] (задали)

f(X_O+∆X)-f(X_O)=∆X f ‘(c )

Найдется такое Q ∈(0;1):С=Х_О+Q∆X=>f(X_O+∆X)-f|X_O|=∆X f ‘(Xo+Q∆X)