- •010100 «Математика», 010500 «Прикладная математика и информатика, 010900 «Механика»
- •010101 «Математика», 010501 «Прикладная математика и информатика, 010901 «Механика»
- •1. Исследование положений равновесия нелинейной системы второго порядка
- •Задание 1
- •2. Производная в силу системы. Первые интегралы
- •Задание 2
- •3. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка
- •Задача Коши для уравнения с частными производными
- •Задание 4
- •5. Исследование на устойчивость по первому приближению
- •Задание 5
- •6. Методы доказательства существования цикла
- •Принцип кольца
- •Задание 6
- •7. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Неавтономные уравнения.
- •Разложим функцию в ряд по степеням в окрестности точки
- •Если условия (7.12) выполнены, то порождающее уравнение имеет решение:
- •Будем искать решение последнего уравнения в виде
- •Исследуемое уравнение:
- •Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Автономные уравнения
- •Отсутствие t в правой части приводит к усложнению задачи, так как период искомого решения оказывается неизвестным. Он будет, вообще говоря, зависеть от параметра .
- •Исследуемое уравнение:
- •Задание 7
Задание 6
Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у уравнения или системы
1.
|
2. |
3.
|
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9.
|
10. |
11.
|
12.
|
13. |
14.
|
15. |
16. |
17. |
18.
|
19.
|
20. |
21. |
22. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
31. |
|
|
7. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Неавтономные уравнения.
Метод Пуанкаре предназначен для построения периодических решений нелинейных систем, дифференциальные уравнения которых содержат малый параметр . При этом предполагается, что обращение в нуль малого параметра не понижает порядка системы.
Метод Пуанкаре базируется на двух положениях:
1) порождающая система, т.е. система, получающаяся из исходной при =0, содержит периодические решения с некоторым периодом, частным случаем которых могут быть постоянные величины;
2) периодические решения исходной системы строятся при помощи подбора начальных данных всех входящих в систему неизвестных функций.
Начнем с решения следующей задачи: требуется найти периодическое решение периода T дифференциального уравнения:
(7.1)
Заметим, что если решение уравнения (7.1) имеет период T, то , то есть функция f(t) обязана быть периодической с периодом T. Выполнив в (7.1) замену времени и положив , получим
.
То есть новая правая часть в новом времени будет 2-периодической функцией. Поэтому правую часть уравнения (2.9.1) можно без ограничения общности считать 2-периодической функцией.
Будем считать, что функция f(t) непрерывна и может быть разложена в сходящийся ряд Фурье
(7.2)
Пользуясь принципом суперпозиции, частное решение уравнения (7.1) будем искать в виде ряда
(7.3)
Дифференцируя ряд (7.3) почленно два раза и подставляя в (7.1), получим:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках слева и справа в последней формуле, будем иметь
.
Тогда
(7.4)
Из предположения о непрерывности f(t) следует, что ряд (7.4) можно почленно дифференцировать. Поэтому ряд (7.4) есть решение уравнения (7.1), если только ни для какого k. Если же число целое ( ), то соответствующее слагаемое в правой части (7.4) обращается в , и периодическое решение не существует.
Полученный результат можно было легко предугадать, если вспомнить, что при линейное уравнение имеет решение вида , не являющееся периодическим.
Из приведенных рассуждений вытекает следующий вывод: если не является целым числом, а f(t) – 2-периодическая функция, то уравнение (7.1) всегда имеет 2- периодическое решение, доставляемое формулой (7.4). Если же – целое число, то 2- периодическое решение уравнения (7.1) существует лишь в том случае, когда в разложении функции f(t) в ряд Фурье отсутствуют «резонирующие члены» ak и bk, то есть если:
(7.5)
Если и выполнено условие (7.5), то уравнение (7.1) имеет бесконечное число 2-периодических решений, которые даются формулой:
.
Если же , то уравнение (7.1) имеет единственное периодическое решение (7.4).
Пример 7.1. Существуют ли периодические решения уравнения
Здесь – целое число.
Так как условия не выполняются, то периодического решения у рассматриваемого уравнения нет.
Аналитическая зависимость решений от параметров.
Рассмотрим задачу Коши для системы уравнений
(7.6)
где является параметром.
Теорема 7.1. Если в системе (7.6) функции непрерывны по переменной t, а также функции и аналитические функции параметра в некоторой окрестности точки , то решение этой системы разлагается в сходящийся при малых ряд по степеням параметра :
(7.7)
Доказательство этой теоремы достаточно громоздко и здесь опущено.
Метод разложения решения по степеням малого параметра лежит в основе многих приемов исследования нелинейных колебаний с малой нелинейностью.
Рассмотрим следующую задачу: найти периодическое решение уравнения:
(7.8)
с 2-периодическими по переменной t функциями f(t) и , считая, что -периодическое решение порождающего уравнения:
(7.9)
существует и нам известно. Считая, что функция непрерывна по t и является аналитической по переменным x и , на основании приведенной выше теоремы, будем искать решение уравнения (7.8) в виде ряда (7.7) .