- •Хакасский государственный университет им. Н.Ф.Катанова математическая логика
- •Содержание
- •Литература.
- •Введение.
- •Алгебра высказываний.
- •§1. Высказывания и операции над ними.
- •Упражнения.
- •§2. Формулы алгебры высказываний. Виды формул.
- •Упражнения.
- •§3 Логическое следствие
- •Основные методы установления верности логического следствия:
- •Упражнения
- •§4 Равносильность формул алгебры высказываний.
- •Упражнения
- •§5 Нормальные формы для формул алгебры высказываний.
- •Отыскание нормальных форм Упражнения.
- •Применение нормальных форм.
- •Нахождение следствий из посылок.
- •Нахождение посылок для данных следствий.
- •§ 6. Булевы функции (функции алгебры логики).
- •Классы булевых функций.
- •Упражнения.
- •§7. Алгебра логики и релейно-контактные схемы.
- •Анализ релейно-контактных схем. Упражнения.
- •Синтез релейно-контактных схем.
- •§8. Особые методы минимизации.
- •Графический метод.
- •М атрица Карно.
- •Метод неопределенных коэффициентов.
- •М етод минимизирующих карт.
- •М етод Квайна.
- •Упражнения.
- •Примерные варианты контрольных работ.
Хакасский государственный университет им. Н.Ф.Катанова математическая логика
Методические рекомендации
Абакан 2004.
Составители: Архипова Л.В., Дернович Е.С.
Математическая логика. Методические рекомендации.
Данные методические рекомендации могут быть использованы студентами специальности 032100, 010400, 220400, 552800, 071900, 030100 при изучении курса математической логики.
Хакасский государственный Университет им. Н.Ф. Катанова, 2003.
Содержание
Введение ………………………………………………………………..5
§1. Высказывания и операции над ними ……………………………..6
§2. Формулы алгебры высказываний. Виды формул ……………….10
§3. Логическое следствие ……………………………………………..16
§4. Равносильность формул алгебры высказываний ………………..19
§5. Нормальные формы для формул алгебры высказываний ………21
§6. Булевы функции (функции алгебры логики) …………………… 35
§7. Алгебра логики и релейно-контактные схемы …………………. 41
§8. Особые методы минимизации……………………………………. 46
Примерные варианты контрольных работ…………………………....58
Ответы………………………………………………………………….. 61
Литература.
Акимов О.Е. Дискретная математика. Москва, 2001г.
Гладкий А.В. Математическая логика. Москва,1998г.
Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной
математике. Москва., 1977г.
Драбкина М.Е. Логические упражнения по элементарной
математике. Минск, 1965г.
Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика.
Москва, 1973г.
Ефремов Г.О. Алгебра логики и контактные схемы. Москва, 1969г.
Игошин ВИ. Задачник-практикум по математической логике. Москва, 1986г.
Калужнин Л.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. Москва, 1978 г.
Карри Х. Основания математической логики. Москва,1969г.
Клини С. Математическая логика. Москва, 1973г.
Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. Москва, 1975г.
Москинова Г.И. Дискретная математика. Москва, 2000г.
Мощенский В.А. Лекции по математической логике. Минск, 1973г.
Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. Москва, 1992г.
Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. Москва, 1968г.
Столяр А.А. Элементарное введение в математическую логику. Москва,1965г.
Столяр А.А. Логическое введение в математику. Минск, 1971г.
Успенский В.А.,Верещагин Н.К.,Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. Москва,1991г.
Эдельман С.Л. Математическая логика. Москва, 1975г.
Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. Москва, 2002.
Введение.
Логика – это наука о правильных способах рассуждений. При рассмотрении методов рассуждений логика интересуется формой рассуждений, а не содержанием посылок и заключений в них. Точно определить различие между формой и содержанием нелегко. Поясним его на следующих примерах.
Все натуральные числа целые. Число 7 натуральное. Следовательно, 7 – целое число.
Все зайцы косые. Беляк заяц. Следовательно, беляк косой.
Оба эти рассуждения имеют одну и ту же форму: Все А суть В; С есть А; следовательно, С есть В.
Логика не интересуется истинностью или ложностью отдельных посылок и заключений. Она в первую очередь интересуется умозаключением, т.е. выясняет, вытекает ли истинность заключения данного рассуждения из истинности его посылок. Еще древние философы изучали эти вопросы, и их исследования положили начало философской логике. С развитием точных наук в философской логике стали применяться математические методы: появилась математическая логика. Начало математической логике было положено в 1847 году работами Джорджа Буля («Математический анализ логики»), Августа де Моргана («Формальная логика») и более поздними работами (1890-1905) Эрнста Шредера и др.
Интерес к математической логике особенно возрос к концу 19 века, когда математический мир был потрясен открытием парадоксов, т.е. рассуждений приводящих к противоречиям. (см.Х.Карри «Основания математической логики»).
С развитием математической логики в ней возникли свои специфические задачи. Появились различные системы математических логик, например, классическая, конструктивная, модальная, комбинаторная и др. (Логика, рассматриваемая здесь, относится к классической).
Считается, что одной из основных задач математической логики является задача объяснения природы математической строгости и природы самой математики. Другими словами, математическая логика включает в себя изучение оснований математики. Работы К.Геделя, С.К.Клини, А.А.Маркова и многих других определили математической логике ведущую роль в математике. Из идей математической логики возникло точное определение понятия алгоритма. С его помощью были решены задачи, которые без этого точного понятия в принципе были бы неразрешимы. Аппарат математической логики находит приложение в вопросах конструирования вычислительных машин и сложных автоматических устройств.