Тема 10. Выбор формы уравнения регрессии
1) Линейная функция y = a + b1x1 + b2x2 + b3x3 + … + bnxn
«+»: - сравнительно просто отыскать параметры уравнения;
- сравнительно просто интерпретировать.
Результат увеличивается на величину b1 при изменении фактора х1 на единицу и всех остальных факторов, зафиксированных на среднем уровне.
2) Степенная функция y = a ∙ x1b1 ∙ x2b2 ∙ … ∙ xnbn
Интерпретация: b1, b2, bn - коэффициенты эластичности. Показывают, на сколько изменился результат в среднем при изменении соответствующего фактора на 1 %.
Другие функции используются редко.
Тема 11. Оценка параметров уравнения множественной регрессии
1
Отыскание параметров уравнения
Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются МНК.
Для отыскания параметров сроится система нормальных уравнений.
y = a + b1x1 + b2x2 + b3x3 + … + bnxn
Тогда система нормальных уравнений принимает следующий вид:
∑y = na + b1∑x1 + b2∑x2 + b3∑x3 + … + bn∑xn
∑y ∙ x1 = a∑x1 + b1∑x12 + b2∑x1∙ x2 + b3∑ x1∙x3 + … + bn∑ x1∙xn
∑y ∙ x2 = a∑x2 + b1∑x1∙ x2 + b2∑x22 + b3∑ x2∙x3 + … + bn∑ x2∙xn
…
∑y ∙ xn = a∑xn + b1∑x1∙ xn + b2∑x2∙ xn + b3∑ x2∙x3 + … + bn∑xn2
Эту систему можно записать в следующем виде:
А = (a; b1; b2; bn)
Х = А ∙ У А = У ∙ Х-1
Если функция степенная, или другая нелинейная, то её сначала линеализуют, а затем применяют МНК.
Тема 12. Частные уравнения регрессии
Есть линейное
уравнение вида y
= a
+ b1x1
+ b2x2
+ b3x3
+ … + bnxn,
то можно найти частное уравнение
регрессии вида
Эти уравнения регрессии показывают связь между результатом и соответствующим фактором при закреплении других слагаемых на среднем уровне, т.е. позволяют точно оценить влияние фактора на результат.
Эти уравнения позволяют определить частные коэффициенты эластичности, которые показывают, на сколько процентов изменился результат под воздействием одного фактора изолированно в процентах.
Коэффициенты эластичности определяются точно также как для уравнения парной линейной регрессии:
Тема 13. Множественная корреляция
После отыскания параметров уравнение множественной регрессии нужно проверить на статистическую значимость и надежность.
Для этого используются: 1) Индекс множественной корреляции
2) Частные коэффициенты корреляции
3) F – критерий Фишера
4) t – статистика
1) Индекс множественной корреляции R
σ2у – общая дисперсия результативного признака;
σ2ост – остаточная дисперсия для уравнения.
Этот индекс показывает, на сколько тесная связь между факторами и результатом.
Если модель построена правильно, то индекс множественной корреляции существенно отличается от максимального индекса парной корреляции.
Rx1x2…xn > max (rxy)
Индекс линейной корреляции может служить индикатором необходимости включения в модель дополнительного признака.
Если при включении дополнительного признака изменяется второй знак, то включение этого признака оправдано.
R2х1,х2,…,хn показывает процент объясненной регрессии с помощью данного уравнения.
2) Частные коэффициенты корреляции – это коэффициенты линейной корреляции, характеризующие тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния всех других факторов, входящих в уравнение.
R2 в числителе = R2 всего уравнения
R2 в знаменателе = коэффициент детерминации при исключении фактора Хi
Порядок расчета: 1. Составляется матрица парных коэффициентов корреляции;
2. Находятся частные коэффициенты корреляции первого порядка (частные коэффициенты корреляции между У и двумя другими факторами).
х1
и х2:
х1, х2, х3: ryx1x2 ryx2x3 ryx1x3
Далее проводим анализ, включение какого фактора оказывает сильное влияние на результат.
3) Критерий Фишера
Дфактор – факторная сумма квадратов, деленная на одну степень свободы.
Дост – остаточная сумма квадратов, деленная на одну степень свободы.
k – количество факторов или независимых переменных.
Коэффициент Фишера показывает значимость уравнения регрессии.
Если Fфакт > Fтабл – то уравнение регрессии статистически значимо.
4) t – статистика рассчитывается стандартным образом, и показывает статистическую значимость того или иного параметра.