2. Порядок выполнения работы

1. Изучить методические указания и ответить на контрольные вопросы.

2. Получить у преподавателя номер варианта.

3. Представить математическую формулировку расчета коэффициентов степенного полинома методом неопределенных коэффициентов, при решении системы линейных уравнений использовать метод в соответствии с выбранным вариантом.

4. Представить математическую формулировку расчета коэффициентов степенного полинома, используя интерполяционные формулы Лагранжа или Ньютона.

5. Составить схемы алгоритмов и написать программы в среде СИ++.

6. Отладить программу и получить результаты расчетов.

7. Провести анализ полученных результатов.

3. Краткие теоретические сведения

При решении инженерных задач часто приходится сталкиваться с необходимостью определения математической зависимости между интересующими величинами. Например, в случае задания зависимости в виде таблицы, нет возможности определения значений, находящихся между табличными значениями. Для этого необходимо заменить таблично заданную зависимость математическим выражением.

Если вид табличной зависимости заранее неизвестен, то обычно наилучшее приближение рассматривают с точки зрения абсолютного совпадения расчетных и табличных значений. Такой подход называется интерполированием.

Существуют много разнообразных методов интерполирования. Все они предназначены для получения аналитического приближенного описания реального процесса по его экспериментальным точкам. Использование степенных многочленов является наиболее простым и удобным для решения не сложных инженерных задач.

Постановка задачи интерполирования

Рис. 1

Пусть дана табличная зависимость (рис. 1), где m – число экспериментальных точек.

Необходимо найти такую зависимость y=f_n(x) для которой все значения совпадают с табличными

f_n(x_i)=y_i , i=1, 2,…,m (1)

где n – порядок f_n(x_i).

Шагом интерполирования называется величина h, определяемая следующим соотношением h= x_i+1 - x_i.

Величина h может быть на всем рассматриваемом интервале постоянной (равностоящая интерполяция) и непостоянной (неравноотстоящая интерполяция). Значения f(x_i) называются узлами интерполирования.

Решение задачи интерполирования

Положим, что f(x)=f(x,a₀,...,a_n) (2)

произвольная функциональная зависимость в общем случае нелинейная относительно неизвестных коэффициентов a₀ , . . ., a_n (число определяемых коэффициентов не должно быть меньше числа экспериментальных точек).

Тогда задача интерполирования заключается в определении указанных коэффициентов исходя из условия (1).

Рассмотрим функциональную зависимость, линейную относительно коэффициентов a₀, . . ., a_m-1. Одним из распространенных классов функций, используемых при интерполировании, является класс многочленов. Функция f(x) при этом принимается в виде:

. (3)

Метод неопределенных коэффициентов заключается в том, что если в уравнение (3) подставить табличные значения , то определение коэффициентов сводится к решению системы m линейных уравнений:

(4)

где m=n+1.

Для решения системы линейных уравнений чаще всего используют методы Крамера, Гаусса, обращения матриц (см. приложение 1) и др.

П

i
1	1	2
2	5	12
3	9	15

Рис. 2

РИМЕР

Задание: интерполировать табличную зависимость, представленную на (рис. 2). Найти значение y в контрольной точке x = 3.

Решение:

Количество экспериментальных точек m=3. Следовательно, порядок интерполяционного многочлена n=2. Для n=2 формула (3) будет выглядеть:

.

Пользуясь полученной формулой, составим систему линейных уравнений:

или, подставив табличные значения, получим:

Решив полученную систему уравнений одним из методов решения систем линейных уравнений (см. приложение 1), получим значения неизвестных коэффициентов a₀=-1,59375, a₁=3,8125, a₂=-0,21875.

Тогда интерполяционная зависимость будет выглядеть:

.

При x=3 f₂(x)=7,875.

Другим способом определения коэффициентов уравнения (3), позволяющим избежать решение системы уравнений (4), является построение интерполяционных многочленов, обеспечивающих равенство расчетных и экспериментальных значений функций в заданных узлах интерполирования, то есть точках (х_i, y_i).

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа, принимающий значения y₁, …, y_n+1 в соответствующих точках, записывается в виде:

. (5)

Интерполяционный многочлен Лагранжа можно построить при любом расположении узлов интерполирования (точки могут быть неравноотстоящие).

ПРИМЕР

Рассмотрим предыдущую задачу.

Количество экспериментальных точек m=3. Порядок интерполяционного полинома Лагранжа n=2.

Формула (5) для n=2 будет выглядеть следующим образом:

или, подставив табличные значения, получим:

.

.

Т.е. a₀=-1,59375, a₁=3,8125, a₂=-0,21875.

При x=3 L₂(x)= 7,875.