§4. Статистические характеристики

Для полноты картины анализа выборки рассматривают статистические характеристики вариационного ряда, которые делятся на средние характеристики и характеристики вариации.

4.1. Средние характеристики

К средним характеристикам относят:

- среднее выборочное;

- моду;

- медиану.

Определение Выборочной средней называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

В случае, если ряд дискретный, то: , где

- значение признака,

- соответствующая ему частота.

Вычисления оформим в виде таблицы:

В случае, если ряд интервальный, то: , где

- среднее арифметическое значение интервала,

- соответствующая ему частота.

Вычисления оформим в виде таблицы:

Определение Модой называется варианта с наибольшей частотой.

Если ряд интервальный, то выбирают модальный интервал – интервал с наибольшей частотой и мода вычисляется по формуле:

, где

- начало модального интервала,

- величина интервала,

- частота модального интервала,

- частота интервала, предшествующего модальному,

- частота интервала, следующего за модальным.

Особенности, которые необходимо учитывать при вычислении моды в случае дискретного признака:

1). Если все значения в выборке встречаются одинаково часто, принято считать, что группа не имеет моды.

Пример: 12 12 13 13 14 14 15 15 Моды нет.

2). Если два соседних значения имеют одинаковую частоту и они больше частоты любого другого значения, мода есть среднее этих двух значений.

Пример: 6 7 7 8 8 8 9 9 9 М₀=8,5.

3). Если два несмежных значения в выборке имеют равные частоты и они больше частот всех других значений, то существуют две моды.

Пример: 9 10 10 10 11 11 12 13 13 13 М₀=10, М₀=13.

Определение Медианой называется такая варианта, при которой одна половина значений признака меньше ее, а другая больше.

В случае дискретного признака выборку сначала ранжируют, то есть варианты выборки располагают в порядке возрастания.

Если число вариант четное, то: , где

- ранг (порядковый номер в выборке)

Если число вариант нечетное, то: , где .

В случае непрерывного признака выбирают медианный интервал – интервал, в котором накопленная частота превышает половину объема и медиана вычисляется по формуле:

, где

- начало интервала, находящегося в середине вариационного ряда,

- величина интервала,

- объем выборки,

- накопленная частота интервала, предшествующего среднему,

- частота среднего интервала.