§4. Энергия и поток энергии. Вектор Пойнтинга
Теорема Пойнтинга. Исходя из представления о локализации энергии в самом поле и руководствуясь принципом сохранения энергии, можно заключить, что если в какой-то определенной области энергия уменьшается, то это может происходить только за счет ее «вытекания» через границы рассматриваемой области (среда предполагается неподвижной).
В этом отношении существует формальная аналогия с законом сохранения заряда — уравнением .Смысл этого закона в том, что убыль заряда в данном объеме за единицу времени равна потоку вектора j сквозь поверхность, охватывающую этот объем.
Так и в случае закона сохранения энергии следует признать, что существует не только плотность энергии w в данной области, но и некоторый вектор S, характеризующий плотность потока энергии.
Если говорить только об энергии электромагнитного поля, то его полная энергия в данном объеме будет изменяться как за счет вытекания ее из объема, так и за счет того, что поле передает свою энергию веществу (заряженным частицам), т. е. производит работу над веществом. Макроскопически это утверждение можно записать так:
(19)
где dA — элемент поверхности.
Это уравнение выражает теорему Пойнтинга: убыль энергии за единицу времени в данном объеме равна потоку энергии сквозь поверхность, ограниченную этим объемом, плюс мощность Р, которую силы поля производят над зарядами вещества внутри данного объема.
В уравнении (19)
w — плотность энергии поля,
j — плотность тока, Е — напряженность электрического поля. Следует отметить, что мощность Р в (19) может быть как положительной, так и отрицательной. Последнее имеет место в тех случаях, когда положительные заряды в веществе движутся против направления поля Е или отрицательные — в противоположном направлении. Например, так обстоит дело в точках среды, где помимо электрического поля Е действует и поле Е* сторонних сил. В этих точках и если и по модулю , то jE в выражении для Р оказывается отрицательным.
Пойнтинг получил выражения для плотности энергии w и вектора S, воспользовавшись уравнениями Максвелла.Если среда не содержит сегнетоэлектриков и ферромагнетиков (т. е. нет явления гистерезиса), то плотность энергии электромагнитного поля
(20)
Плотность же потока энергии электромагнитного поля — вектор, называемый вектором Пойнтинга, — определяется как
(21)
Приложение.
Ротор поля В. Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о циркуляции вектора В, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме, расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора В к площади S, ограниченной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S —> 0, причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориентация контура задается вектором п нормали к плоскости контура, причем направление п связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную величину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали п к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля В и обозначают символом rot В. Таким образом,
где справа стоит проекция вектора rot В на нормаль п. Итак, в каждой точке векторного поля В имеется вектор rotВ, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rotВ определяется тем направлением нормали п площадки S, при котором достигается его максимальное значение. В математике получают выражение для rotВ в координатном представлении. Формально rotВ можно рассматривать как векторное произведение оператора на вектор В, т. е. как xB. Это позволяет записать векторное произведение xB с помощью определителя:
где ех, еy , еz — орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля В, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля Е.
И так,
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора В. Ротор поля В совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а его модуль xB равен μ0 j.
Некоторые приближенные формулы (при α << 1)
Некоторые сведения о векторах
Греческий алфавит