4. Числовая и символическая формы представления булевых функций
Для любой булевой функции можно предложить две числовые формы, основанные на перечислении десятичных эквивалентов наборов аргументов, на которых функция принимает значение единицы (нуля).
Например:
От числовой формы легко перейти к КДНФ путем замены каждого из наборов в перечислении конституентой единицы.
.
Аналогично можно перейти к ККНФ:
В самом компактном
виде любую булеву функцию можно
представить в следующей символической
форме:
,
где n-количество
аргументов, а N-десятичный
эквивалент двоичного набора значений
функции на упорядоченном множестве
аргументов.
Пример: f
3(Х)=x1
x2
x3=
- символическая форма булевой функции.
5. Преобразование произвольной аналитической формы булевой функции в нормальную
В булевой алгебре в виде теоремы доказывается следующее утверждение: существует единый конструктивный подход, позволяющий преобразовать аналитическое выражение булевой алгебры, заданное в произвольной форме, к нормальной форме.
Пример:
Замечания:
1. В общем случае любая булева функция может иметь несколько
ДНФ, отличающихся либо количеством термов, либо количеством букв в этих термах.
2. При построении комбинационной схемы, реализующей данную функцию по ее нормальной форме предпочтительней схема, которая обладает наименьшим числом термов и наименьшим количеством букв в этих термах.
3. По сравнению со схемой, построенной по ДНФ, схема, построенная по скобочной форме (*), является предпочтительной т.к. при одном и том же числе логических элементов (И, ИЛИ) содержит меньшее число входов (9 вместо 10).
Задача преобразования нормальной формы булевой функции в скобочную форму называют задачей факторизации.
4. Сущность конструктивного подхода при получении ДНФ состоит в следуюшем:
а) преобразование операций небулевого базиса к операциям булевого базиса (см. последний столбец табл.2);
б) снятие отрицаний над выражениями с применением законов двойственности;
в) раскрытие скобок с применением дистрибутивного закона;
г) упрощение выражения с применением законов поглощения, склеивания, сокращения и тавтологии.
Приведенные рассуждения справедливы и для КНФ.
6. Приведение произвольных нормальных форм булевой функции к каноническим
Для приведения произвольной ДНФ к КДНФ необходимо использовать правило дизъюнктивного развертывания применительно к каждому из неполных конъюнктивных термов.
,
где P
- неполный
конъюнктивный терм (ранг этого терма
меньше n),
а xi
- недостающий в терме аргумент.
П
ример:
Замечание:
После раскрытия скобок могут получиться одинаковые термы, из которых нужно оставить только один.
- числовая форма
функции.
Преобразование КНФ к ККНФ реализуется путем применения правила конъюнктивного развертывания к каждому неполному дизъюнктивному терму.
Пример:
- числовая форма
функции.