- •Общие сведения Сведения об эумк
- •Методические рекомендации по изучению дисциплины
- •Рабочая учебная программа Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»
- •Пояснительная записка
- •Содержание дисциплины
- •1. Название тем лекционных занятий, их содержание, объем в часах Наименование тем, их содержание
- •2. Перечень тем ипр
- •Перечень тем контрольных работ
- •4. Литература
- •4.1 Основная
- •4.2 Дополнительная
- •5. Перечень компьютерных программ, наглядных и других пособий, методических указаний и материалов и технических средств обучения
- •6. Учебно-методическая карта дисциплины содержание дисциплины
- •Теоретический раздел Вступление
- •Дискретная и вычислительная математика
- •Часть 1. Вычислительная математика Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •1 Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •1.1 Точные методы
- •1.1.1 Метод Гаусса
- •1.1.2 Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители. Теорема об lu разложении
- •Теорема об lu разложении
- •1.1.3 Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •1.1.4 Метод Холецкого (метод квадратных корней)
- •1.2 Итерационные методы решений систем алгебраических уравнений
- •1.2.1 Метод Якоби (простых итераций)
- •1.2.2 Метод Зейделя
- •1.2.3 Матричная запись методов Якоби и Зейделя
- •1.2.4 Метод Ричардсона
- •1.2.5 Метод верхней релаксации (обобщённый метод Зейделя)
- •1.2.6 Сходимость итерационных методов
- •2 Плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1 Метод регуляризации для решения плохо обусловленных систем
- •2.2 Метод вращения (Гивенса)
- •3 Решение нелинейных уравнений
- •3.1 Метод простых итераций
- •3.1.1 Условия сходимости метода
- •3.1.2 Оценка погрешности
- •3.2 Метод Ньютона
- •3.2.1 Сходимость метода
- •4 Решение проблемы собственных значений
- •4.1 Прямые методы
- •4.1.1 Метод Леверрье
- •4.1.2 Усовершенствованный метод Фадеева
- •4.1.3 Метод Данилевского
- •4.1.4 Метод итераций определения первого собственного числа матрицы
- •5 Задача приближения функции
- •5.1 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •5.1.1 Оценка погрешности интерполяционного многочлена
- •5.2 Интерполяционные полиномы Ньютона
- •5.2.1 Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов
- •5.2.2 Вторая интерполяционная формула Ньютона
- •5.3 Интерполирование сплайнами
- •5.3.1 Построение кубического сплайна
- •5.3.2 Сходимость процесса интерполирования кубическими сплайнами
- •5.4 Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
- •6 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений
- •6.1 Семейство одношаговых методов решения задачи Коши
- •6.1.1 Метод Эйлера (частный случай метода Рунге-Кутта)
- •6.1.2 Методы Рунге-Кутта
- •6.2 Многошаговые разностные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.2.1 Задача подбора числовых коэффициентов aк , bк
- •6.2.2 Устойчивость и сходимость многошаговых разностных методов
- •6.2.3 Примеры m-шаговых разностных методов Адамса для различных m
- •6.3 Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.3.1 Понятие жесткой системы оду
- •6.3.2 Некоторые сведения о других методах решения жестких систем
- •6.3.2.1 Методы Гира
- •6.3.2.2 Метод Ракитского(матричной экспоненты) решения систем оду
- •6.4 Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.5 Решение линейной краевой задачи
- •6.6 Решение двухточечной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка сведением к задаче Коши
- •6.7 Методы численного решения двухточечной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка
- •6.7.1 Метод конечных разностей
- •6.7.2 Метод прогонки (одна из модификаций метода Гаусса)
- •7 Приближенное решение дифференциальных уравнений в частных производных
- •7.1 Метод сеток для решения смешанной задачи для уравнения параболического типа (уравнения теплопроводности)
- •7.2 Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
- •7.3 Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
- •Часть 2. Дискретная математика
- •1. Основные Элементы теории множеств
- •1.1 Элементы и множества
- •1.2 Задание множеств. Парадокс Рассела
- •1.3 Операции над множествами
- •1.4 Булеан множества
- •1.5 Представление множеств в эвм
- •Разбиения и покрытия
- •2 Отношения и функции
- •2.1 Прямое произведение множеств
- •Элементы комбинаторики
- •Теория конфигураций и теория перечисления
- •Размещения
- •Сочетания
- •3.1 Перестановки и подстановки
- •4 Элементы математической логики
- •5 Конечные графы и сети Основные определения
- •5.1 Матрицы графов
- •Матрица смежности Списки инцидентности
- •5.2 Достижимость и связность
- •5.3 Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •5.4 Деревья и циклы
- •5.5 Алгоритмы поиска пути
- •Двунаправленный поиск
- •Поиск по первому наилучшему совпадению
- •Алгоритм Дейкстры
- •АлгоритмА*
- •Остовное дерево
- •Матрица Кирхгофа
- •5.6 Конечные автоматы
- •5.6 Элементы топологии
- •5.7 Метрическое пространство
- •Указания по выбору варианта
- •Контрольная работа № 2 Общие сведения
- •Квадратурная формула Гаусса
- •Указания по выбору варианта
- •Индивидуальные практические работы Индивидуальная практическая работа № 1 Общие сведения
- •Интерполяционный полином Лагранжа
- •Аппроксимация функций с помощью кубического сплайна
- •Приближение формулами Ньютона
- •Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
- •Индивидуальная практическая работа № 2
Кафедра программного обеспечения информационных технологий
Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»
Данилова Галина Владимировна
ассистент кафедры ПОИТ
Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине
«Дискретная и вычислительная математика»
Для студентов специальности
40 01 01 - Программное обеспечение информационных технологий
(дистанционная форма обучения)
Минск 2011
Общие сведения Сведения об эумк
ЭУМКД по дисциплине «Дискретная и вычислительная математика» для студентов специальностей: 40 01 01 - Программное обеспечение информационных технологий (дистанционная форма обучения) предназначен для изучения студентами ФНиДО дисциплины «Дискретная и вычислительная математика» (в т.ч.: изучения теоретической части и выполнения практических работ).
ЭУМКД по дисциплине «Дискретная и вычислительная математика» для студентов специальностей: 40 01 01 - Программное обеспечение информационных технологий (дистанционная форма обучения) разработан в соответствии с учебным планом и рабочей программой дисциплины «Дискретная и вычислительная математика» специальности 40 01 01 - Программное обеспечение информационных технологий.
Автор ЭУМКД: ассистент кафедры ПОИТ Данилова Г.В.
ЭУМКД рекомендован к изданию на заседании кафедры ПОИТ (протокол № __ от __.__.____) и заседании методической комиссии ФКСиС (протокол № __ от __.__.____).
Методические рекомендации по изучению дисциплины
Цель преподавания дисциплины.
Дисциплина предусматривает изучение существующих методов численного решения математических задач; освоение методологии вычислительного эксперимента и основных оптимизационных процедур при проектировании технических систем.
Целью изучения дисциплины является формирование у слушателей устойчивых теоретических знаний и практических навыков программной реализации численных методов и навыкам использования существующих программных средств в области вычислительной математики, использования алгоритмов при решении задач некоторых разделов дискретной математики.
Задачи изучения дисциплины.
Изучение данной дисциплины является необходимым этапом в профессиональном развитии специалиста в области информационных технологий и позволяет в дальнейшем совершенствовать навыки разработки профессиональных программных средств, отвечающих современному этапу развития компьютерной техники.
В результате освоения дисциплины «Дискретная и вычислительная математика» обучаемый должен:
знать:
цели, задачи и методологию компьютерного моделирования;
основы теории погрешностей;
основные численные методы;
особенности постановки вычислительного эксперимента;
основные методы безусловной и нелинейной условной оптимизации функций n-переменных;
особенности численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных;
основные законы алгебры логики;
основные понятия теории множеств (множество, операции над множествами, соответствия, отношения и функции);
элементы теории графов (определение графа, типы графов, операции над графами);
основные комбинаторные конфигурации и правила подсчета их количества;
уметь:
выполнить анализ распространения погрешностей в процессе вычислений;
выполнить программную реализацию численных методов;
выбрать существующие программные средства в области вычислительной математики;
ставить задачи на проведение вычислительного эксперимента;
выполнять оптимизацию;
численно решать краевые задачи для дифференциальных уравнений;
осуществлять основные операций над множествами, решении систем уравнений, исследовании бинарных отношений, в том числе специальных;
распознавать типы комбинаторных расстановок, применении известных формул подсчета их количества, формул включения и исключения, кругов Эйлера;
иметь представление о:
разработки алгоритмов и программ решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных;
нахождения оптимальных параметров процессов, описываемых уравнениями математической физики;
постановки и реализации вычислительного эксперимента;
применения алгоритмов дискретной математики на практике.
Рекомендуется использовать данный ЭУМКД в качестве основного учебного пособия по дисциплине, а также в качестве справочного материала при выполнении практических заданий.