![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Численные методы
- •Введение
- •Погрешность результата численного решения задачи
- •Требования к оформлению отчета о выполнении лабораторной работы
- •Лабораторная работа № 1 Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутта
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Порядок выполнения работы:
- •Порядок выполнения работы:
- •Порядок выполнения работы:
- •Порядок выполнения работы:
- •Типовое задание к лабораторной работе
- •Варианты заданий
- •Библиографический список
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Изучить теоретическую часть.
2 Составить программу решения дифференциального уравнения первого порядка по вычислительным схемам (1.2), (1.6) и (1.7). Отладить ее на модельной задаче.
3 Провести вычисления указанного варианта задачи.
4 Внести случайную погрешность в начальные данные и, проведя вычисления для измененных данных, сделать вывод об устойчивости.
5 Вывести результаты решения модельной задачи для различного числа узлов N в виде таблицы
где -значение приближенного решения в точке при шаге h, - точное значение решения в этой же точке.
6 Вывести результаты решения указанного варианта в виде
7 Провести анализ полученных результатов.
Типовое задание к лабораторной работе
Решить задачу Коши
,
,
.
Варианты заданий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Лабораторная работа №2
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Ритца
Цель работы: используя проекционный метод Ритца, решить дифференциальное уравнение второго порядка.
Теоретическая часть
Пусть
в гильбертовом пространстве H
рассматривается уравнение Lu=Au+Bu=f,
,
.(2.1)
где
А,
В
—линейные (т. е, аддитивные и однородные,
но, может быть, неограниченные) операторы
в H
с областями определения D(A),
D(В),
соответственно.
Предполагается, что D(A)
D(B)
и
D(А)
плотно
в H
Кроме того, введем в рассмотрение
некоторый оператор К с областью
определения D(K)
D(A).
Зададим функции
каждая
из которых принадлежит D(A),
Обозначим
через HN
линейную
оболочку функций
.
Будем
считать, что для этих функций выполнены
условия:
1)
при любом N
функции
линейно
независимы;
2)
последовательность подпространств
{HN}
предельно плотна в H,
т. е. для любой функции и
Н
существуют
такие элементы
,
N=1,
2,..., что
,
где
—оценки
погрешности аппроксимации,
→0
при N→∞.
Набор
функций
,
удовлетворяющих
отмеченным условиям, будем называть
базисом
в
HN
и обозначать {
}.
Входящие в него функции
назовем базисными.
Введем
еще один набор базисных функций, который
обозначим через {
}
и который не обязательно совпадает с
{
}.
Предполагается, что все базисные функции
,
принадлежат множеству D(K).
Будем искать приближенные решения уравнения (2.1) в виде
, (2.2)
здесь
,
определим из системы уравнений
(2.3)
где
(u,
v)
— скалярное произведение в пространстве
H
с нормой
.
Пусть
в задаче (2.1) и в алгоритме (2.3) В=0,
К=I—тождественный
оператор,
,
A
—
симметричный положительно определенный
оператор, т. е. (Au,v)=(u,
Av),
(Аи,u)≥
где
>0
- постоянная,
.
В этом случае мы приходим к задаче
Au=f, f H. (2.4)
Общий алгоритм (2.3) при сделанных предположениях будем называть классическим методом Ритца. Он состоит в следующем:
Выбирается базис { ,}, D(A), i=1,...,N, N=1,2,..
Приближенное решение ищется в виде
.
3) Коэффициенты находятся из системы уравнений
(2.5)
или, что то же самое, из системы
(2.6)
где
—матрица с элементами
,
.
Теорема
2.1
Для.
того чтобы некоторый элемент
D(A)
сообщал минимальное значение функционалу
энергии
F(u)=(Au,u)-2(u,f), (2.7)
необходимо и достаточно, чтобы этот элемент удовлетворял уравнению Аu0=f. Такой элемент единственный.
Из этой теоремы следует, что задача (2.4) и задача минимизации (2.7) эквивалентны.
Если рассматривать классическую постановку задачи (2.4), когда решение уравнения Au=f есть функция, принадлежащая области определения D(A) оператора A и удовлетворяющая этому уравнению. Оказывается, что в такой постановке это решение может не существовать. Однако оно существует в несколько более широком (чем D(A)) пространстве. Поэтому необходимо изменить постановку задачи о минимизации F(u), чтобы можно было гарантировать существование ее решения.
Пусть при рассмотрении (2.4) А — симметричный положительно определенный оператор с областью определения D(A), плотной в H. Введем в D(A) скалярное произведение и норму:
.
(2.8)
Пополняя
D(A)
по введенной норме, приходим к полному
гильбертову пространству HA,
которое называется энергетическим
пространством, порождаемым
оператором А.
Каждая
функция из D(А)
принадлежит
пространству HA,
однако в результате пополнения в HA
могут появиться элементы, не входящие
в D(А)
(поэтому
представление скалярного произведения
при произвольных
в виде
уже не имеет места).
Пусть
.
Представим F(u)
в
виде
(2.9)
Такая форма записи позволяет рассматривать F(u) не только на области определения оператора A, но и на всех элементах энергетического пространства HA. Поэтому расширим функционал (2.9) на все пространство HA и будем искать его минимум на этом пространстве. Легко показать, что в такой постановке вариационная задача имеет всегда единственное решение.
В
пространстве HA
функционал F(и)
достигает
минимума при и=и0.
u0—единственный
и принадлежит HA.
Может оказаться, что
;
тогда u0
будет
также классическим
решением, рассматриваемой
задачи, т. е. будет удовлетворять (2.4).
Если же
,
но
,
то
назовем его обобщенным
решением уравнения
(2.4).
Рассмотрим один из вопросов, важных для практического использования метода Ритца, — проблему выделения главных и естественных краевых условий . Принадлежность элемента и к области определения D(А) оператора А часто подразумевает, что и удовлетворяет тем или иным краевым условиям: Tku=0, k=1,...,К (здесь Тk — оператор, определяющий k-е краевое условие). В результате пополнения D(A) по норме [•] в полученном энергетическом пространстве НN могут появиться элементы, которые будут удовлетворять не всем условиям Tku=0. Если в НА окажутся элементы, не удовлетворяющие некоторому условию Tku=0, то это краевое условие называется естественным для оператора А. Краевое условие, которому удовлетворяют как элементы из D(A), так и элементы из НА, называется главным.
Практическая
важность умения отличать эти условия
состоит в том, что базисные функции {
}
не обязательно подчинять естественным
краевым условиям, так как их достаточно
брать лишь из энергетического пространства
(и не обязательно из D
(А)). Это
обстоятельство в значительной степени
облегчает выбор
при
решении многих практически важных
задач, особенно в случае многомерной
области со сложной формой границы.
Отметим, что в случае главных краевых
условий проблема построения
,
удовлетворяющих этим условиям, остается.
Приведем простой признак, позволяющий отличать естественные краевые условия от главных и применимый для ряда краевых задач Пусть в (2.4) А — дифференциальный оператор порядка 2m, удовлетворяющий некоторому однородному краевому условию вида Tku = 0. Тогда краевое условие будет естественным, если выражение содержит производные от и порядка т и выше (при этом в могут входить производные порядков, меньших чем m, а также сама функция и). Если Тkи не содержит производных от и порядка m и выше, то условие является главным.
Рассмотрим уравнение
+q(x)u(x)
= f(x)
(2.10)
и(a) = и(b) = 0
f(x)
L2(a,b),p(x),q(x)-
ограниченные
функции.
Обозначим через А
оператор
задачи (2.10), определим выражение
.
Тогда операторное уравнение будет
Аи= f. (2.11).
Применим для решения задачи (2.10) метод Ритца в энергетических пространствах
Введём скалярное произведение в L2:
(u,v)
=
.
Пополним область определения оператора A и определим скалярное произведение в HA
(2.12)
Согласно теории метода Ритца, задача (2.10) сводится к минимизации функционала
F(u) = [u,u]-2(u,f)
Введём сетку на (а,b)
а =x0<x1<...<xN= b,
Поставим в соответствие каждому узлу кусочно-линейную функцию
Решение
ищем в виде
,
т.к.
,
то
. (2.13)
Согласно
теории Ритца, за приближённое решение
задачи uN
можно
принять функцию вида (2.13). минимизирующую
F(v).
Коэффициенты
,
этой функции находятся из условий
=
1... N
-1,
которые приводят к системе
где
элементы
матрицы
= {Aij}
и
вектора f
=
{
}Т
имеют вид
, (2.14)
. (2.15)