17. Уравнение неразрывности (сплошности) фильтрационного потока. Дифференциальные уравнения движения флюидов в пористой среде.

Оно выражает баланс массы жидкости (сжимаемой) в пределах постоянного элементарного объема, выделенного внутри пористой среды.

Уравнение неразрывности для неустановившейся фильтрации , сжимаемой жидкости в сжимаемом пласте. Дифференциальный 3-хчлен в скобках [ ] обозначают через ,

-набла, оператор Гамильтона.

-Уравнение неразрывности для установившейся фильтрации.

-вектор массовой скорости фильтрации.

Если фильтрация несжимаемой жидкости ( =const) в недеформированном пласте, тогда будем иметь

или =0.

ДУ движения флюидов в пористой среде

Обобщенный закон Дарси

,

GradP- вектор, имеющий в данной точке направление быстрейшего возрастания величины давления.

Последуем идее разделения фильтрационного потока на три составляющие в течении вдоль координатных осей ox, oy, oz, которая была использована при выводе уравнения неразрывности:

; ;

; ;

Введем потенциальную функцию течения

Объединяя три равенства в одно векторное получим

.

Подставим значение проекции в уравнение неразрывности, получим его в новом виде

-Уравнение неразрывности, выраженное через потенциальную энергию.

При установившейся фильтрации уравнение неразрывности записывается

-Уравнение Лапласа относительно функции Ф для уст. ф-ии. Дифференциальный трехчлен в левой части называется оператором Лапласа и обозначается ∆Ф или .

1.

2. ;

Для установившейся фильтрации

=0 и Ф=0,

т.е. функции уравнения Лапласа –гармонические функции, т. к. удовлетворяют уравнению Лапласа.

Уравнение состояния жидкости, газов и пористой среды.

Выведенные ранее уравнения содержат такие параметры как

;

для дальнейших расчетов надо знать зависимость этих параметров от Р. При изотермич. процессе такая зависимость, выражающая состояние ж, г или их смесей и пласта, и называется уравнением сосотояния.

а)для жидкостей ,

,

;

-к-т объемного сжатия жидкости (к-т сжимаемости), обычно считают постоянным для данной жидкости( независим от P ,T).

На μ нефти большое влияние оказывает темп. Эксперименты показывают, что с увелич. Р вязкость также увелич.

-для больших изменений Р(до 100 МПа),

-для малых изм. давл.;

α_μ –экспаерим. к-т, зависящий от состава нефти.

б) Для газов, ρ=ρ(Р) , μ=μ(Р),

Уравнение сост. идеального газа

-можно пользоваться при малых P и gradP.

Уравнение состояния реального газа записывается через z (к-т сверхсжимаемости). Характеризует степень отклонения от закона ид. газов.

z=z (P,T)-опред-ся по графику Брауна.

-для реального газа.

в) для пористой среды

m=m(p); k=k(p);

Деформацию г.п. можно описать з-ном Гука . Песчаник подчиняется этому закону, глина нет т.к. она пластична.

18 Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси. Принцип суперпозиции.

Вывод дифференциального уравнения установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси строится на основе уравнения неразрывности, уравнений движения и уравнений состояния жидкости и пористой среды.

Уравнение неразрывности

или

ρ=const.

Уравнения установившегося движения жидкости по закону Дарси

находим производные

Подставляем последнее выражение в уравнение неразрывности, получаем уравнение Лапласа

или после сокращения

т.е. divgrad P = 0.

Если ввести потенциал скорости фильтрации

и подставить в уравнения движения, то последние принимают вид

.

Дифференцируя, получим

Решения уравнения Лапласса имеют следующие свойства:

1) произведение частного решения на произвольную постоянную, есть также решение этого уравнения;2) сумма частных решений есть также решение этого уравнения; Указанные свойства приводят к принципу суперпозиции, который широко используется при решении задач ПГ. Математический смысл метода суперпозиции заключается в том, что если имеется несколько фильтрационных потоков с потенциалами Ф₁(x,y,z), Ф₂(x,y,z), …, Ф_n (x,y,z), каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е. ,

j=1,2,3…n, то сумма,

где C_j-произвольная постоянная также удовлетворяет уравнению Лапласа. Гидродинамический смысл метода суперпозиции – изменения давления или потенциала в любой точке пласта, вызванные работой каждой скважины, алгебраически суммируются в каждой точке пласта. При этом суммарная скорость фильтрации находится как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины в отдельности. Пусть на неограниченной плоскости расположено n источников и стоков (рис.19). Потенциал каждого из них в некоторой точке М определяется по формуле :

где r₁, r₂, r₃, ..r_n – расстояния от соответствующих стоков до точки М;

С₁, С₂, С₃,…, С_n – постоянные.

Каждая функция Ф₁, Ф₂, … Ф_n удовлетворяет уравнению Лапласа.

Поэтому сумма потенциалов

где С=С₁+С₂+…+С_n также удовлетворяет уравнению Лапласа.

Физически это означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника или стока накладываются друг на друга. Вектор скорости фильтрации в точке М будет определяться векторной суммой:

где

Потенциалы отдельных фильтрационных потоков несжимаемой жидкости складываются алгебраически, а векторы скорости фильтрации геометрически.