1 Уилсон р. Введение в теорию графов. – м.: Мир, 1977.

2 Белов в.В., Воробьев е.М., Шаталов в.Е. Теория графов. – м.: вш,

1976.

3 Харари Ф. Теория графов. – М.: Мир, 1973.

4 Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. –

М.: Наука, 1985.

5 Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения. – М.: Наука, 1982.

14. Графы на двумерных поверхностях.

Алгебраические методы теории графов позволяют исследовать такие важные инварианты двумерных поверхностей, как эйлерова характеристика и группы гомологий. В контрольной работе необходимо изучить основные свойства графов на двумерных поверхностях и проанализировать известную взаимосвязь групп цепей графов с топологическими инвариантами соответствующих поверхностей. Рекомендуется следующий план работы:

1) Изучить такие основополагающие понятия теории графов, как граф, маршрут, цикл, плоский граф и его эйлерова характеристика (/1/, с. 9-43, 74-81; /2/, с. 5-22, 60-65).

2) Рассмотреть понятие эйлеровой характеристики двумерной поверхности и доказать ее основные свойства (/2/, с. 65-75).

3) Разобрать определения групп гомологий графов и доказать их основные свойства (/2/, с. 76-81).

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1 Уилсон р. Введение в теорию графов. – м.: Мир, 1977.

2 Белов в.В., Воробьев е.М., Шаталов в.Е. Теория графов. – м.: вш,

1976.

3 Березина л.Ю. Графы и их применения: Пособие для учителей. – м.,

1979.

15. Конечные группы и их графы.

Всякой конечной группе можно сопоставить некоторую геометрическую фигуру – граф этой группы. Цель контрольной работы – изучить наглядной представление конечных групп с помощью графов, построить графы некоторых групп и установить соответствие между свойствами группы и ее графа. Рекомендуется следующий порядок изложения материала:

1) Определить некоторые основные понятия теории групп (в частности, образующих группы). Дать определение графа группы и построить графы некоторых групп, например, циклических групп, групп кватернионов, симметрической группы S3, группы додекаэдра (/1/, с. 18 – 37; 58 – 106).

2) С помощью графа построить все подгруппы группы кватернионов (/1/, с. 182 – 186).

3) Сформулировать и доказать теорему Фрухта о представлении любой конечной группы в виде группы автоморфизмов некоторого графа (/2/, с. 301– 307).

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1 Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. – М.: Мир, 1971.

2 Оре о. Теория графов. – м.: Наука, 1968.

3 Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. – М.: Мир,

1979.

16. Теорема Рамсея и ее приложения.

Теорема Рамсея является одной из наиболее важных теорем существования в комбинаторике, имеющей самые разнообразные приложения в теории графов, алгебре, теории информации и других разделах математики. Цель контрольной работы – изучить доказательства теоремы Рамсея и рассмотреть приложения этой теоремы к решению алгебраических задач теории полугрупп и регулярных языков. Рекомендуется следующий план работы:

1) Рассмотреть задачу Рамсея о существовании специальных чисел для определенных комбинаторных конфигураций, удовлетворяющих свойству

Рамсея (/1/, с. 340-342; /2/, с. 282-283; /3/, с. 28-30).

2) Разобрать доказательства теоремы Рамсея средствами математической логики и комбинаторными методами теории графов (/1/, с. 342-349; /2/, с. 282-287; /4/, с. 2-4).

3) Рассмотреть приложения этой теоремы к решению алгебраических задач теории полугрупп и регулярных языков (/4/, с. 4-9).

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1 Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. – М.: Мир, 1994.