- •6.7. Связь между вариационным исчислением, принципом максимума и динамическим программированием
- •6.8. Основные результаты раздела
- •7. Синтез оптимальных линейных систем управления по интегральному квадратичному критерию и методом фазовой плоскости
- •7.1. Синтез нестационарного оптимального управления линейной системой при квадратическом критерии
- •7.2. Решение стационарной задачи
- •7.3. Синтез оптимального линейного регулятора выхода
- •7.4. Метод фазовой плоскости синтеза оптимальной по быстродействию системы
7.2. Решение стационарной задачи
Рассмотрим теперь систему (7.1) - (7.2), но при условии, что , , и постоянны, , , а следовательно, , .
Таким образом, требуется решить задачу синтеза оптимального регулятора для системы:
, (7.28)
с минимизацией критерия
. (7.29)
В этом случае получаемая замкнутая система управления асимптотически устойчива.
Используя вывод уравнений (7.3) – (7.19), но, учитывая новые условия: постоянство , , , , равенства , , а также тот факт, что при , вместо (7.16) – (7.19), получим единственное уравнение ( ):
, (7.30)
которое называется алгебраическим матричным уравнением Риккати.
Когда же существует решение задачи синтеза стационарного регулятора? Оказывается, необходимо и достаточно, чтобы пара была стабилизируема. Действительно, учитывая все условия постановки стационарной задачи синтеза, положим, что система нестабилизируема. Тогда существует составляющая , которая неуправляема и одновременно
, (7.31)
а следовательно, исходя из (7.3) и (7.10), получим для уравнение
. (7.32)
Но тогда вследствие (7.31) правая часть (7.32), содержащая , не ограничена, и решения относительно не существует. Таким образом, необходимость доказана.
Пусть теперь положим, что искомое управление существует. Тогда (7.32) принимает вид
. (7.33)
Транспонируем (7.33) и получим (полагая и симметричными)
,
откуда следует, что , т.е. должна быть симметричной.
С другой стороны, из (7.3) следует, что
, (7.34)
но функция Беллмана является положительной, т.е. , а следовательно, учитывая (7.33), получаем, что , иначе говоря, должна быть положительно определенной матрицей.
Таким образом, доказана достаточность стабилизируемости при условии симметричности и положительной определенности . Таким образом, , а в соответствии с критерием Сильвестра положительной определённости матрицы имеем условия:
, ,…, . (7.35)
Учитывая вышесказанное, нужно из всех решений системы (7.30) найти то единственное, которое удовлетворяет условию (7.35). Число уравнений всегда равно .
Асимптотическую устойчивость получаемой замкнутой системы докажем, используя подстановку получаемого в задаче управления (из (7.21))
(7.36)
в уравнение (7.1) с :
. (7.37)
Из выражения (7.10), учитывая , получим .
Вычислим полную производную
и, используя уравнение Риккати (7.30), получим
. (7.38)
В последнем выражении – полуположительно определенная матрица (по условию), симметрична и положительно определена по условию, а следовательно, тоже положительно определена. Тогда второе слагаемое имеет вид , а это определяет его как положительно определенную матрицу.
Из всего этого очевидно, что справа в (7.38) стоит положительно определенная квадратичная форма и, учитывая минус перед правой частью, можем сказать, что - отрицательно определенная форма. Поскольку - положительно определена, то система асимптотически устойчива по Ляпунову.
Пример 7.2. Синтезировать управление для системы
, ,
при условии .
Решение. Из исходных уравнений динамики и функционала следует, что:
, , , .
Из уравнения (7.36) запишем .
Уравнение Риккати принимает вид:
,
откуда получим три уравнения
,
,
.
Из последних уравнений требованию положительной определенности соответствует решение:
, , .
Таким образом, .