19. 3.2 Геометрическое рапределение

Производится серия испытаний. Случайная величина - количество испытаний до появления первого успеха (например, бросание мяча в корзину до первого попадания). Закон распределения имеет вид:

Если количество испытаний не ограничено, т.е. если случайная величинв может принимать значения 1, 2, ..., ∞, то математическое ожидание и дисперсию геометрического распределения можно найти по формулам M(X) = 1/p, D(X) = q/p²

Пример 3.2

Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6 при каждом выстреле. С.в. X - число возможных выстрелов до первого попадания. а) Составить ряд распределения, найти функцию распределения, построить её график и найти все числовые характеристики. б) Найти математическое ожидание и дисперсию для случая, если стрелок намеревается произвести не более трёх выстрелов.

Показать решение

Решение а) Случайная величина может принимать значения 1, 2, 3, 4,..., ∞ P(1) = p = 0,6 P(2) = qp = 0,4 · 0,6 = 0,24 P(3) = q²p = 0,4² · 0,6 = 0,096 ... P(k) = q^k-1p = 0,4^k-1 · 0,6 ... Ряд распределения: x_i|  1  |   2   |    3   | ... |      k        | ... ----------------------------------------- p_i| 0,6 | 0,24|0,096| ... |0,4^k-1 · 0,6| ... Контроль: Σp_i = 0,6/(1-0,4) = 1 (сумма геометрической прогрессии) Функция распределения - это вероятность того, что с.в. Х примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение х. Значения функции распределения определяем суммированием вероятностей. Если x ≤ 1, то F(x) = 0 Если 1 < x ≤ 2, то F(x) = 0,6 Если 2 < x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84 Если 3 < x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ... Если k-1 < x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4^k-1)/(1-0,4) = 1-0,4^k-1 (частичная сумма геометрической прогрессии) ...

M(X) = 1/p = 1/0,6 ≈ 1,667 D(x) = q/p² = 0,4/0,36 ≈ 1,111 σ(Х) = √D(X) ≈ 1,054 б) Случайная величина может принимать значения 1, 2, 3. P(1) = p = 0,6 P(2) = qp = 0,4 · 0,6 = 0,24 P(3) = q²p + q³ = 0,4² · 0,6 + 0,4³ = 0,16 Ряд распределения: x_i|  1  |   2   |   3    ------------------- p_i| 0,6 | 0,24|0,16 Контроль: Σp_i = 0,6 + 0,24 + 0,16 = 1 Функция распределения. Если x ≤ 1, то F(x) = 0 Если 1 < x ≤ 2, то F(x) = 0,6 Если 2 < x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84 Если x > 3, то F(x) = 0,84 + 0,16 = 1 M(X) = 1 · 0,6 + 2 · 0,24 + 3 · 0,16 = 1,56 D(X) = 1² · 0,6 + 2² · 0,24 + 3² · 0,16 - 1,56² = 0,5664 σ(Х) ≈ 0,752

20

21. Случайную величину будем называть непрерывной, если ее интегральная функция распределения { < } непрерывна и дифференцируема, за исключением, быть может, конечного числа точек.

Дифференциальной функцией распределения называют производную от интегральной функции

'( .

Вместо термина "дифференциальная функция" используют другое название - "плотность вероятности", поскольку

Свойства дифференциальной функции:

0;

Пусть функция монотонно возрастает и - обратная функция. Тогда

Дифференцируя это равенство по , получаем (если дифференцируема): т.е.

Если монотонно убывающая функция, то аналогично получаются следующие соотношения:

Случай, когда функция является монотонно возрастающей или убывающей, имеет основное прикладное значение.

Пример 86. Закон равномерного распределения вероятностей.

Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция имеет постоянное значение.

Пусть т.к. то

Пример 87. Показательное распределение.

Решение. Показательное распределение задается своей дифференциальной функцией

Проверим, что

Продолжительность существования радиоактивных частиц описывается показательным распределением.

Характеристиками положения н.с.в., так же как и дискретной, являются математическое ожидание, мода и медиана.

22. О.Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

 

Где f ( x ) дифференциальная функция. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если возможные значения принадлежат интервалу ( a , b ), то

О. Модой М₀(Х) непрерывной случайной величины называют то ее возможное значение, которому соответствует максимум дифференциальной функции.

О.Медианой M_e(X) непрерывной случайной величины называют то ее возможное значение, которое определяется равенством

Р ( Х < M_e(X) )=P(X> M_e(X)).

О.Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

Или равносильным равенством

В частности, если возможные значения принадлежат интервалу ( a , b ), то

23. щее название Класса распределений вероятностей, возникающего при распространении идеи "равновозможности исходов" на непрерывный случай. Подобно нормальному распределению Р. р. появляется в теории вероятностей как точное распределение в одних задачах и как предельное - в других.

Р. р. на отрезке числовой прямой (прямоугольное распределение). Р. р. на каком-либо отрезке [ а, b], а<b, - это распределений вероятностей, имеющее плотность

Понятие Р. р. на [ а, b] соответствует представлению о случайном выборе точки на этом отрезке "наудачу". Математич. ожидание и дисперсия Р. р. равны, соответственно, (b+a)/2 и (b-а)²/12. Функция распределения задается формулой

а характеристич. функция - формулой

Случайную величину с Р. р. на [0,1] можно построить, исходя из последовательности независимых случайных величин Х ₁, Х ₂, . . ., принимающих значения 0 и 1 с вероятностями ¹/₂ полагая

( Х _n являются цифрами в двоичном разложении X). Случайное число Xимеет Р. р. на отрезке [0,1]. Этот факт имеет важные статистич. приложения, см., напр., Случайные и псевдослучайные числа.

Если независимые случайные величины Х ₁ и Х ₂ имеют Р. р. на [0,1], то их сумма Х ₁+Х ₂ имеет так наз. треугольное распределение на [0,2] с плотностью u₂ (х)=1 -|1-х | для и u₂(x)=0 для . Сумма трех независимых случайных величин с Р. р. на [0,1] имеет распределение на [0,3] с плотностью

В общем случае сумма X₁+X₂+. . . +Х _n независимых величин с Р. р. на [0,1] распределена с плотностью

для и и _п (х)=0 для ; здесь

Распределение суммы нормированной математич. ожиданием n/2 и среднеквадратич. отклонением , с ростом пбыстро сближается с нормальным распределением с параметрами 0 и 1 (уже при n=3 приближение удовлетворительно для многих практич. целей).

В статистич. приложениях процедура построения случайной величины с заданной функцией распределения F(х).основана на следующем факте. Пусть случайная величина Yраспределена равномерно на [0,1] и функция распределения F(х).непрерывна и строго возрастает. Тогда случайная величина имеет функцию распределения F(х).(в общем случае надо заменить в определении Xфункцию F^-1 (у).на нек-рый ее аналог, а именно ).

P.p. на отрезке как предельное распределение. Ниже приводятся типичные примеры возникновения Р. р. на [0,1] в качестве предельного.

1) Пусть X₁, X₂, . . ., Х _n,... - независимые случайные величины, имеющие одну и ту же непрерывную функцию распределения. Тогда распределение их суммы S_n, приведенной по mod 1, т. е., иными словами, распределение дробной части {S_n} суммы S_n, сходится к равномерному на [0, 1] распределению.

2) Пусть параметры и имеют абсолютно непрерывное совместное распределение; тогда при распределение сходится к равномерному на [0,1].

3) Р. р. встречается как предельное распределение дробных долей нек-рых функций g(n) натурального аргумента п. Напр., при иррациональном a. доля тех , из пдля к-рых

имеет пределом при величину b-а.

Р. р. на под множествах . Пример Р. р. в прямоугольнике встречается уже в Бюффона задаче (см. также Геометрические вероятности, Стохастическая геометрия]. Р. р. на нек-ром ограниченном множестве Dв евклидовом пространстве определяется как распределение, имеющее плотность

где Собратна k-мерному объему (или лебеговой мере) области D.

Рассматривают также и Р. р. на поверхностях. Так, "случайное направление" (напр., в ) определяют вектором, идущим из начала координат в случайную точку поверхиости единичной сферы, равномерно распределенную в том смысле, что вероятность ее попадания в какую-либо часть поверхности пропорциональна площади этой части.

24. Показательное (экспоненциальное распределение)

Показательным называют распределение непрерывной случайной величины Х которое

описывается следующей дифференциальной функцией

Экспоненциальное распределение для непрерывных случайных величин является

аналогом распределения Пуассона для дискретных случайных величин и имеет

следующий вид.

вероятность попадания случайной величины Х на интервал (α;β)

Следует отметить, что время безотказной работы удовлетворяется именно

показательному закону, а поэтому это понятие часто используется в понятии

надежности.