3.1.2. Функции, непрерывное и дискретное время

Функции независимых переменных (одной x(t) = F(t) или нескольких x(t) = F(t,r)) отображают множество значений независимых переменных в множество значений зависимых (динамических) переменных. Состояние объекта может фиксироваться не непрерывно во времени t, а дискретно – в отдельные моменты t_n, отстоящие друг от друга на шаг Δt. В этом случае номер отсчета n=0,1,2,… называют дискретным временем. Шаг Δt сохраняется постоянным, но не всегда.

3.1.3. Отображение последования, итерация. x_n+1 = F(x_n,c), где с – вектор параметров, x – вектор состояния – отображение последования. Для таких моделей удобны итерационные представления – это результат повторного применения какой-либо операции. F⁽¹⁾(x) ≡F(x), F^(m)(x) ≡F[F^(m-1)(x)], где m – индекс итерации. Пример: x_n+1=λ-x²_n= F⁽¹⁾(x), F⁽²⁾(x)=λ-x²_n+1.

3.1.4. Потоки и каскады, сечение и отображение Пуанкаре

В динамических системах, операторы эволюции которых задаются дифференциальными уравнениями, время непрерывно. В фазовом пространстве этих систем движению из близких начальных точек соответствует пучок фазовых траекторий, напоминающий поток жидкости. Например, ур-е линейного осциллятора: . Другая форма записи: . Каскады – динамические системы, описывающиеся точечными отображениями x_n+1=F(x_n,c). Переход от непрерывного времени к дискретному описанию. 1). Сечение фазового пространства ДС множеством на размерности D – 1. Связывают последовательные проколы и получают отображение последования – отображение Пуанкаре.

2). Переход от производных ур-й к конечным разностям. . Дискретные отображения не описывают поведение ДС в промежутках между отсчетами, но это не всегда необходимо. Преимущества дискретных моделей перед потоковыми – удобство исследования с помощью компа.

3.4. Линейность и нелинейность. В науке линейность или нелинейность системы/модели определяется не видом решения в виде функции, а видом уравнения модели.

Линейные уравнения – те, для которых выполняется принцип суперпозиции, т.е. сумма двух решений x₃(t) = ax₁(t) + bx₂(t) тоже является решением, где a и b – константы. В линейных допустимы только производные: , но нет . Линейная модель – та, которая описывается линейными уравнениями.

3.5. Модели в виде ОДУ. – описывает прямолинейное движение с постоянной скоростью, решение: . – решением является , – постоянные коэффициенты. Показательная функция – решение уравнения – описывает динамику численности биологической популяции, где – параметр рождаемости. Гармоническая функция – решение уравнения гармонического осциллятора .

3.5.2. Популярный класс модельных уравнений – осцилляторы

Осцилляторами называют и объекты, способные совершать колебания около положения равновесия (осцилляции) и уравнения, моделирующие их движения. В физике уравнение осциллятора описывает движение в потенциальной яме. Эталонное уравнение осциллятора: , второе слагаемое – потеря энергии (сила трения), третье – возвращающая сила, – градиент. Если яма квадратная, . - внешняя сила. Если - консервативный осциллятор с трением, если и – линейный консервативный, решение – синусоида. Осциллятор Ван-дер-Поля приобретает способность к собственным периодическим колебаниям (режим автоколебаний). Автоколебания – отличительная черта генераторной модели. Отличие потенциальной ямы от приводит к нелинейности уравнения. Автономный осциллятор является системой второго порядка. Если , система увеличивает размерность до 3 – добавляется квазипериодика и хаос.

Линейные модели могут демонстрировать достаточно сложные движения, но появление новых гармонических составляющих по сравнению с частотами воздействия (2 - би- и мультистабильность, 3 - хаос), являются чисто нелинейными явлениями.

3 .5.3. «Стандартная форма» ОДУ Система уравнений , . К такому виду можно свести любую систему с ОДУ, разрешенную относительно старших производных, даже если эта система зависит от времени. Преобразование происходит за счет замены переменных. , ,…, – стандартная форма ОДУ (остается одна функция). ОДУ – самый популярный способ моделирования динамических систем.

3.6. Модели – точечные отображения. Даже простая нелинейная конструкция способна демонстрировать сложное поведение. Напр, одномерная нелинейная модель способна демонстрировать хаос. Эталонные нелинейные отображения: 1). Кусочно-линейные. а) «Зуб пилы» – дробная часть числа. Доказывает возможность динамического хаоса простых нелинейных систем. б) Модель нейрона (генерирует «спайки» и «берсты» - отдельные короткие и мпульсы и последовательности импульсов). в) Отображения для записи и обработки информации (реализация записи информации с помощью множества генерируемых ими циклов). 2). Квадратичное отображение (популярно тем, что описывает переход к хаосу через последовательную бифуркацию удвоения периода). 3). Отображение окружности популярно в моделировании ?? и перехода к хаосу через разрушение квазипериодических действий. , и - параметры. В зависимости от параметров карты режимов на плоскости и : внизу – квазипериодика и хаос, в «клювах» («языках Арнольда») происходит синхронизация.

3 .7. Модели пространственно-развитых систем. Для ПРС характерна мультистабильность – много аттракторов в фазовом пространстве.

3 .7.1. Решетки связанных отображений. При конструировании цепочек и решеток базовые отображения связываются между собой локально (соседи), глобально (со всеми) или по группам. x, y – динамические переменные, k – коэффициент связи, f – функция нелинейности базового отображения. (1) – диссипативная связь (для радиотехнического аналога конструируется через R), (2) – инерционная связь. Цепочка – это одномерная решетка (а,б). Двумерная решетка (г). Связь может быть двунаправленной или однонаправленной.

Диссипативная стремится выровнять мгновенные состояния подсистем, инерционная способствует сохранению памяти о состоянии на предыдущем шаге. Возможна комбинированная связь. Чем больше элементов в решетке, тем больше синфазных видов колебаний наблюдается.

3.7.2. Клеточный автомат – дискретная динамическая система, представляющая собой совокупность одинаковых клеток, одинаковым образом соединенных между собой. Клетки образуют решетку клеточного автомата. Решетки могут быть разных типов, отличаясь как по размерности, так и по форме клеток. Характерные свойства клеточных автоматов: 1. Решетка однородна. Закон эволюции клеток везде одинаков. 2. Изменения значений всех клеток происходят одновременно после вычисления нового состояния каждой клетки решетки. 3. Взаимодействия локальны (взаимодействуют только соседи). 4. Множество состояний клетки конечно. Игра «жизнь». Произвольно расставляются точки, ход эволюции идет по законам: 1. Выживание. Каждая клетка, имеющая две или три соседние живые клетки, выживает и переходит в следующее поколение. 2. Гибель. Каждая клетка, у которой больше трёх соседей, погибает из-за перенаселённости. Каждая клетка, вокруг которой занято меньше двух клеток, погибает от одиночества. 3. Рождение. Если пустая клетка граничит с тремя занятыми, то на ней происходит рождение нового организма.