- •Вопрос 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
- •Вопрос 2.
- •I. Минор
- •II. Алгебраические дополнения
- •Вопрос 4. Определители любого(Высших??) порядка. Свойства определителей.
- •Вопрос 5.
- •Матрица 2х2
- •С помощью матрицы алгебраических дополнений
- •Пример решения неоднородной слау
- •Вопрос 6.
- •Вопрос 8.
- •2. Простейшие операции над векторами
- •Вопрос 9.
- •Вопрос 10.
- •Вопрос 11.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 13.
- •Свойства обратной матрицы
- •Вопрос 14.
- •Вопрос 15.
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Вопрос 16.
- •Вопрос 17. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
- •Вопрос 18. Прямая на плоскости. Общее урав прямой в вопросе 16. Взаимное расположение двух прямых
- •Вопрос 19.20,21,22 (общее)
- •Вопрос 23
- •Вопрос 24.
- •Бесконечно малая величина
- •Бесконечно большая величина
- •Вопрос 25.
- •Вопрос 26.
- •Вопрос 27.
- •Вопрос 28. Свойства бесконечно малых функций
- •Вопрос 29. Второй замечательный предел:
- •Вопрос 30.
- •Вопрос 31. (32)
- •Вопрос 32. (33) Приращение функции f(X) в точке X — функция обычно обозначаемая Δxf от новой переменной Δx определяемая как
- •Вопрос 33 (34). Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Вопрос 34 (35) Условия монотонности функции
- •Вопрос 35 (36) Основные правила дифференцирования
- •Вопрос 36 (37) Экстремум функции
- •Вопрос 37 (38)
- •Вопрос 38 (39) Непрерывность функций
- •Вопрос 39 (40).
- •Вопрос 40 (41).
- •Вопрос 41 (42)
- •Вопрос 42 (43)
- •Вопрос 43 (44) Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит:
- •Вопрос 45 (46) Производные и дифференциалы высших порядков
- •Вопрос 47 (48) 1.А)Найти одз и точки разрыва функции.
Вопрос 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]».
краткая форма записи
Матрица у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной матрицей n-го порядка. Элемент квадратной матрицы у которой №столбца = №строк называется диагональными. И образуют главную диагональ матрицы.
Элементы побочной диагонали расположены на линии исходящей из правого верхнего к нижнему левому. Элементы главной наоборот.
Матрица которая содержит либо 1 столбец, либо 1 строку называется вектором. Различают вектор столбец и вектор строку.
Верхняя треугольная матрица – матрица, все элементы которой расположены ниже главной диагонали равны 0. Нижняя треугольная матрица все элементы расположены выше главной диагонали равны 0 Диагональная – квадратная матрица у которой все элементы расположенные вне главной диагонали равны 0
Единичная матрица – диагональная матрица у которой на главной диагонали стоят 1.
Матрицы допускают следующие алгебраические операции:
сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую n строк);
умножение матрицы на число
Транспонирование
Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A = (aij) размера при этом преобразовании станет матрицей размерностью .
A = (aij)
Свойства операции транспонирования
=А
2. одинаковый размер складывается по элементарно
3.
Вопрос 2.
Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́нием ма́триц.
Определение
Пусть даны две прямоугольные матрицы A и B размерности и соответственно:
Тогда матрица C размерностью называется их произведением:
где:
Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.
Следует заметить, что из существования произведения AB вовсе не следует существование произведения BA.
Свойства
Сочетательное свойство:
Распределительное свойство:
.
Произведение матрицы на единичную матрицу подходящего порядка равно самой матрице:
Произведение матрицы на нулевую матрицу подходящей размерности равно нулевой матрице:
Если и — квадратные одного и того же порядка, то произведение матриц обладает ещё рядом свойств.
Умножение матриц в целом некоммутативно:
Если , то матрицы и называются перестановочными или коммутирующими между собой.
Определитель и след произведения не зависят от порядка умножения матриц:
Вопрос 3. Любой квадратной матрице н-го порядка можно поставить в соответствие число,определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы.Это число называется определителем(детерминантом) матрицы.
Определитель-число,характеризующее квадратную матрицу А,тесно связанного с решением линейных уравнений.
Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:
Примеры определителей второго порядка:
Определителем третьего порядка называется следующее выражение:
Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположого угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольноков, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило, называемое правилом треугольников. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а зеленым (справа) - со знаком минус.
Примеры определителей третьего порядка: