- •1 Вопрос: Определение множества
- •Основные числовые множества
- •Элементы логической символики
- •Операции над множествами
- •4 Вопрос:
- •Угловой коэффициент в уравнении прямой. Геометрический смысл коэффициента.
- •5 Вопрос:
- •10 Вопрос:
- •11 Вопрос:
- •12 Вопрос:
- •Основные действия над матрицами
- •Операция умножения матриц
- •13 Вопрос:
- •14 Вопрос:
- •15 Вопрос:
- •16 Вопрос:
- •Основные теоремы о пределах
- •17 Вопрос:
- •18 Вопрос: Асимптота
- •19 Вопрос: Непрерывная функция
- •21 Вопрос: Производная
- •22 Вопрос: Дифференциал функции
- •23 Вопрос:
- •24 Вопрос:
- •25 Вопрос:
- •26 Вопрос:
- •27 Вопрос: теоремы о дифференцируемых функциях
- •28 Вопрос:
- •29 Вопрос: Выпуклые и вогнутые функции
- •Проверка функции на выпуклость
- •Вогнутая функция
- •Проверка функции на вогнутость
- •30 Вопрос:
Угловой коэффициент в уравнении прямой. Геометрический смысл коэффициента.
Преобразуем уравнение прямой ax + by + c=0 к виду Введем обозначения Тогда получим y = kx + l. Возьмем две точки на прямой A (x1; y1) и B (x2; y2), такие что x1 < x2. Их координаты удовлетворяют уравнению прямой: Вычитая эти равенства почленно, получим Проведя прямую через точку A параллельно оси x и прямую через точку B параллельную оси y, мы получим треугольник ABC. Замечаем, что Если прямая расположена следующим образом : То Таким образом, коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью x. Коэффициент k в уравнении прямой называется угловым коэффициентом прямой.
5 Вопрос:
Угол между двумя прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности двух прямых. Углом между двумя прямыми называют угол между их направляющими векторами. Пусть относительно ПДСК заданы две прямые своими каноническими уравнениями: l1: (x-x1)/a1=(y-y1)/b1=(z-z1)/c1, l2: (x-x2)/a2=(y-y2)/b2=(z-z2)/c2, пересекающиеся в некоторой точке M0. a1={a1, b1, c1}, a2={a2, b2, c2}. cos(a1,^a2)=(a1•a2)/(|a1|•|a2|)=(a1a2+b1b2+c1c2)/(√(a12+b12+c12)•√(a22+b22+c22)). Из данной формулы следует, что две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда a1a2+b1b2+c1c2=0. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда a1/a2=b1/b2=c1/c2
Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П1), то для того чтобы определить расстояние от точки А до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h.
Нажмите на картинку для просмотра... |
На ортогональном чертеже строим отрезок A1M1 перпендикулярно h1. Далее на прямой h1 откладываем отрезок M1M0 равный А2В2. Длину перпендикуляра АM можно найти способом прямоугольного треугольника А1M1M0: |АM| = |А1M0|. |
Рассмотрим более сложный пример, когда прямая занимает общее положение. Пусть необходимо определить расстояние от точки М до прямой а общего положения.
Нажмите на картинку для просмотра... |
Решение задачи проводится по следующей схеме:
|
Задача на определение расстояния между параллельными прямыми решается аналогично предыдущей. На одной прямой берется точка, из нее опускается перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра равна расстоянию между параллельными прямыми.
Гл 1 |
Гл 2 |
Гл 3 |
Гл 4 |
Гл 5 |
Гл 6 |
Гл 7Гл 8 Гл 9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ВОПРОС:
Свойства параболы:
1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.
2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.
y² = 2px называемая каноническим уравнением параболы
7 ВОПРОС:
называемая каноническим уравнением эллипса
8 ВОПРОС:
- каноническое уравнение гиперболы.
9 ВОПРОС:
Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.
Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Особые случаи уравнения (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.