Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Расстояние между фокусами F₁ и F₂ обозначим 2с , а постоянную величину, равную модулю разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов 2а (0<2a <2c ). Как и в случае эллипса, ось абсцисс проведем через фокусы, а за начало координат примем середину отрезка F₁F₂ . Фокусы в этой системе координат имеют координаты F₁(- c, 0) и F₂( c, 0). Основываясь на определение эллипса и вводя обозначение c²-a²=b², получим уравнение гиперболы:

Уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Прямые называются асимптотами гиперболы.

Отношение длины фокальной оси к длине действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается

Парабола.

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы р. Эта величина называется параметром параболы. Фокус имеет координаты (р/2,0), а уравнение директрисы имеет вид x=p/2.

Тогда уравнение параболы запишется в виде:

y²=2px

Данное уравнение называется каноническим уравнением параболы.

15. Способы задания и расположение плоскости в пространстве

Способы задания плоскостей

Рассмотрим некоторые способы графического задания плоскости. Положение плоскости в пространстве может быть определено:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой линии (рис.41);

а) модель		б) эпюр
Рисунок 41. Плоскость, заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой

2. прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой (рис.42);

а) модель		б) эпюр
Рисунок 42. Плоскость, заданная прямой линией и точкой, не принадлежащей этой линии

3. двумя пересекающимися прямыми (рис.43);

а) модель		б) эпюр
Рисунок 43. Плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми

4. двумя параллельными прямыми (рис.44);

а) модель		б) эпюр
Рисунок 44. Плоскость, заданная двумя параллельными прямыми

5. О положении плоскости относительно плоскостей проекций удобно судить по её следам (рис.45).

Следом плоскости называется прямая линия, по которой плоскость пересекается с плоскостью проекций. В зависимости от того, какую плоскость проекций пересекает данная a плоскость  различают горизонтальный a_П1, фронтальный a_П2 и профильный a_П3 следы.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 45. Плоскость, заданная следами

Следы плоскости общего положения пересекаются попарно на осях в точках a_x,a_y,a_z. Эти точки называются точками схода следов, их можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью с двумя из трех плоскостей проекций.

Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие разноименные проекции лежат на осях.

положение плоскости относительно плоскостей проекций

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения.  Такая плоскость пересекает все плоскости проекций (имеет три следа: - горизонтальный a_П1; - фронтальный a_П2; - профильный a_П3).

2. Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:

    2.1. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (a^П₁), называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек  этой плоскости совпадают с горизонтальным следом (рис.46).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 46. Горизонтально проецирующая плоскость

    2.2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (a^П₂)- фронтально проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости a является прямая линия, совпадающая со следом a_П2 (рис.47).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 47. Фронтально проецирующая плоскость

    2.3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости ( a^П₃) - профильно проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость (рис.48).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 48. Биссекторная плоскость

3. Плоскости, параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельна исследуемая плоскость, различают:

    3.1. Горизонтальная плоскость - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (a//П₁) -  (a^П₂,a^П₃). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П₁ без искажения, а на плоскости П₂ и П₃ в прямые - следы плоскости a_П2 и a_П3 (рис.49).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 49. Горизонтальная плоскость

    3.2.  Ф^{ронтальная плоскость - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (}a^//П₂^{), (}a^{^П}₁^, a^{^П}₃^). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П₂ без искажения, а на плоскости П₁ и П₃ в прямые - следы плоскости a_П1 и a_П3 (рис.50).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 50. Фронтальная плоскость

3.3^. П^{рофильная плоскость - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (}a^//П₃^{), (}a^{^}П₁^, a^{^}П₂^). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П₃ без искажения, а на плоскости П₁ и П₂ в прямые - следы плоскости a_П1 и a_П2 (рис.51).

а) модель		б) эпюр
Рисунок 51. Профильная плоскость

Следы плоскости

Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. В зависимости, от того с какой из плоскостей проекций пересекается данная плоскость, различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

^{Каждый след плоскости является прямой линией, для построения которых необходимо знать две точки, либо одну точку и направление прямой (как для построения любой прямой). На рисунке 52 показано нахождение следов плоскости α(АВС). Фронтальный след плоскости α}_П2 ^{построен, как прямая соединяющая две точки N}_(АС) ^{и N}_(АВ)^{, являющиеся фронтальными следами соответствующих прямых, принадлежащих плоскости α. Горизонтальный след α}_П1 ^{– прямая, проходящая через горизонтальные следы прямых ВС и АВ. Профильный след α}_П3 ^{– прямая соединяющая точки (α}_y ^{и α}_z^{) пересечения горизонтального и фронтального следов с осями. Точки α}_x^{, α}_y ^{и α}_z ^{называют точками схода следов.}

а) модель		б) эпюр
Рисунок 52. Построение следов плоскости
Взаимное расположение прямой и плоскости

Известны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:

Прямая принадлежит плоскости.

Прямая параллельна плоскости.

Прямая пересекает плоскость.

Прямые линии, принадлежащие плоскости и занимающие частное положение по отношению к плоскостям проекций, называются главными линиями плоскости.

Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или параллельна плоскости, или пересекает ее.

Большое значение для задач начертательной геометрии имеет частный случай пересечения прямой и плоскости, когда прямая перпендикулярна плоскости.

Определение взаимного положения прямой и плоскости - позиционная задача, для  решения которой применяется метод вспомогательных секущих плоскостей.