7. Расчет матрицы g модели из условия требуемого быстродействия.
Согласно
характеристическому уравнению
наблюдателя:
Желаемое хар-кое ур-ние записывается исходя из требований по быстродействию. Абсолютные значения полюсов должны быть в несколько раз больше, чем для системы без наблюдателя.
Приравняем два этих уравнения и получим:
Приравниваем
коэффициенты при одинаковых степенях
p
в левой и правой частях, получаем систему
алгебраических уравнений, из которых
находятся коэффициенты
Для вычисления коэф-тов матрицы G также можно использовать формулу Аккермана:
В
MatLab
реализуется c
помощью инструкции
8.
Синтез наблюдателя состояния с
испльзованием формулы Акермана
Под синтезом будем понимать определение матрицы G, поскольку матрицы F и H можно считать известными для заданного объекта.
Характерное уравнение наблюдателя
Желаемое характеристическое уравнение
При этом желаемые полюсы назначают так, чтобы получить быстродействии в 2-4 раза выше, чем у замкнутой системы.
Сравниваем два уравнения
Далее можно применять те же процедуры, которые использовались для нахождения коэффициентов матрицы К.
Можно использовать формулу Акермана
В программе MathLab матрица G находится инструкцией:
9. Структура сар с наблюдателем состояния. Передаточная функция регулятора-наблюдателя.
При реализации САР регулятор-наблюдатель помещается в замкнутый контур
Уравнение состояния регулятора-наблюдателя
Для регулятора-наблюдателя:
y – входная переменная
U – выходная переменная.
Тогда ПФ регулятора-наблюдателя
Получаем структурную схему замкнутой системы
ПФ замкнутой системы
10. Уравнение состояния замкнутой системы с наблюдателем.
Характеристическое уравнение замкнутой системы с регулятором – наблюдателем:
Т.к. переходная функция объекта и регулятора – наблюдателя имеют порядок n, то переходная функция замкнутой системы имеет порядок 2n.
Необходимо определить, как располагаются 2n – корней полученного характеристического уравнения.
Вместо
вектора
введем в рассмотрение вектор ошибки
.
Это возможно, поскольку
представляет собой линейную комбинацию
от
и
что согласно преобразованию подобия
может рассматриваться как новый вектор
ПС.
Ранее
было показано, что характеристическое
уравнение наблюдателя и модели ошибки
одинаковы. Следовательно, замена
на
не приведет к изменению значения полюсов
наблюдателя.
С
учетом закона управления
уравнение состояния объекта:
.
Уравнение
ошибки:
Объединим данные уравнения:
Характеристическое уравнение для полученной модели с использованием формул из теории матриц может быть представлено в виде:
Из полученного характеристического уравнения следует, что 2n-полюсов замкнутой системы состоит из n-полюсов объекта и n-полюсов наблюдателя, т.е. объединение их в одну систему не приводит к изменению значений полюсов.
Т.о. уравнение состояния замкнутой системы:
или
Тогда
матрица заданной системы:
11. Назначение наблюдателя пониженного порядка. Уравнение состояния наблюдателя.
В системах высокого порядка не все параметры могут быть измерены, такие переменные должны вычисляться наблюдателем. C другой стороны измерение переменных производится более точно чем вычисление. Датчик обеспечивает большую надёжность результатов, чем наблюдатель.
Таким образом вычислять с помощью наблюдателя целесообразно только те переменные, которые нельзя измерить.
Наблюдатель вычисляющий часть переменных состояний называется наблюдателем пониженного порядка.
Рассмотрим случай, когда измеряется только выходная переменная объекта, которая совпадает с переменной состояния X1. Разделим вектор состояния на измеряемую и наблюдаемую часть, тогда уравнения состояния запишутся в виде.
(1)
Запишем уравнение отдельно для измеряемой и наблюдаемой части.
(2)
(3)
Приведем (2) (3) к стандартной форме в модели в переменных состояний относительно вектора Xe.
(4)
Данное уравнение (4) эквивалентно общей форме уравнений состояний
(5)
Если сделать следующие замены
(6)
Уравнение состояния наблюдателя полного порядка, который вычисляет
должно
выполняться при подстановке в него (6)
(7)
Где
- мат. коэф. Наблюдателя полного порядка