![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Методы финансовых вычислений Основные понятия
- •Фактор времени в финансово-коммерческих расчетах
- •Основные понятия, используемые в финансово-экономических расчетах
- •Простые проценты Наращение по простым процентным ставкам
- •Применение простых процентов
- •Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд.
- •Переменные ставки.
- •Начисление процентов при изменении сумм депозита во времени.
- •Реинвестирование по простым ставкам.
- •Дисконтирование по простым процентным ставкам. Сущность дисконтирования.
- •Математическое дисконтирование.
- •Банковское дисконтирование. Банковский или коммерческий учет.
- •Наращение по простой учетной ставке.
- •Сложные проценты Наращение по сложным процентным ставкам
- •Наращение по сложным процентам при нецелом числе лет.
- •Переменные ставки.
Наращение по простой учетной ставке.
Простая
учетная ставка иногда применяется и
при расчете наращенной суммы. В частности
в этом возникает необходимость при
определении суммы, которую надо проставить
в векселе, если задана текущая сумма
долга. Наращенная сумма в этом случае
равна:
.
Множитель наращения равен
.
Наращение не пропорционально ни сроку,
ни ставке. Заметим, что при
расчет лишен смысла, так как наращенная
сумма становится бесконечно большим
числом. Такая ситуация не возникает при
математическом дисконтировании: при
любом сроке современная величина платежа
больше нуля.
При
наращении по простой процентной ставке
капитал
ежегодно увеличивается на одну и ту же
величину
.
При наращении по простой учетной ставке
капитал
также увеличивается, но не на постоянную
величину. Простая учетная ставка
дает более быстрый рост наращенной
суммы, чем такая же по величине процентная
ставка
.
Рисунок 3 - Наращение по схеме простых процентов по процентной и учетной ставкам
Эквивалентность учетной и процентной ставок в схеме простых процентов.
Ставки и , обеспечивающие через время получение одной и той же наращенной суммы из величины , называются эквивалентными.
Известно,
что
.
Отсюда справедливы равенства:
и
.
Пример 12: Найти учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 32% при наращении капитала за 2 года.
Решение:
Воспользуемся формулой
,
или
Годовая учетная ставка.
Годовой учетной ставкой называют проценты за кредит, выплачиваемый в момент заключения договора сроком на 1 год:
.
Эффективной
ставкой дисконта называют величину
.
Выражая
через
получим:
,
.
Таким образом, — наращенное за 1 год значение , a — простые проценты по ставке , уплачиваемые вперед.
Определение срока ссуды и величины процентной ставки.
Срок
в годах:
Заметим,
что для определения срока в днях
,
а значит
.
Пример 13: Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 100 тыс. руб., вырос до 120 тыс. руб. при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых ( )?
Решение:
дня.
Величина процентной ставки:
;
.
Сравнение математического и банковского дисконтирования для схемы простых процентов.
Если процентная и учетная ставки дисконтирования равны по величине, то методы наращения и дисконтирования по схеме простых процентов не дают одинаковый результат.
Сравним
и
между собой при
.
При сроке
(лет) дисконтный множитель по простой
процентной ставке
больше дисконтного множителя по простой
учетной ставке
,
поэтому
.
Графиком
является прямая, а графиком
- гипербола. Заметим, что математическое
дисконтирование выгоднее для
векселедержателя, а банковское – для
банка.
Рисунок 4 – Математическое и банковское дисконтирование
Сложные проценты Наращение по сложным процентным ставкам
В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.
Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:
проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
срок ссуды более года.
Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:
– за один период начисления;
– за два периода начисления;
отсюда, за периодов начисления формула примет вид:
- формула процентов, т.е.
- множитель наращения;
где – наращенная сумма долга;
– первоначальная сумма долга;
– ставка процентов в периоде начисления;
– количество периодов начисления;
– коэффициент
(множитель) наращения сложных процентов.
Рост
по сложным процентам представляет собой
процесс, соответствующий геометрической
прогрессии, первый член которой равен
,
а знаменатель –
.
Последний член геометрической прогрессии
равен наращенной сумме в конце срока
ссуды.
Рисунок 5 – Наращение по сложным процентам
Коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы (см. приложение B). Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через периодов при заданной процентной ставке .
При
выводе формулы
предполагалось, что
измеряется в годах, а
является годовой процентной ставкой.
Однако эту формулу можно применять и
для других периодов начисления – для
месяцев, полугодий, дней и т. д. При этом
нужно обязательно следить, чтобы длина
периода и процентная ставка имели
временное соответствие.
Если срок контракта равен месяцев, а - годовая процентная ставка, то в формуле наращенной суммы величину нужно выразить как
- часть года, тогда наращенная сумма по сложной процентной ставке составит:
Если срок контракта равен дней, то в формуле наращенной суммы - часть года, тогда наращенная сумма по сложной процентной ставке составит:
.
Время
при наращении по сложной ставке обычно
измеряется как
.
Пример 14: Депозит в 200 тыс. руб. положен в банк на 4 года под 15% годовых. Найти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты.
Решение:
Применяя
формулу
,
получим:
руб.
Пример 15: На банковский счет положены 200000 на 3 месяца по ставке 36% в год. Найти наращенную сумму по сложным процентам.
Решение:
Воспользуемся
формулой
.
Помучаем:
руб.
Пример 16: Сумма 10000 рублей положена на банковский счет сроком на 73 дня по ставке 10% в год. Найти наращенную сумму по сложным процентам.
Решение:
Применяя формулу
получим:
руб.
Пример 17. Сумма в размере 2000 долларов дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.
Решение:
Наращенная сумма
долларов
или
долларов,
где
(приложение B).
Сумма начисленных
процентов
долларов. Таким образом, через два года
необходимо вернуть общую сумму в размере
2420 долларов, из которой 2000 долларов
составляет долг, а 420 долларов – "цена
долга".