23 Основные задачи на прямую в пространстве

Прямая линия в пространстве. Основные формулы:

1. Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид

где x₀, y₀, z₀ - координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.

Если α, β и γ - углы между прямой и координатными осями Ox, Oy и Oz, то

cos α, cos β и cos γ называются направляющими косинусами прямой. Направляющие коэффициенты m, n и p можно рассматривать как проекции на координатные оси вектора, параллельного прямой, причем m, n и p не могут быть одновременно равны нулю. Уравнения (1) могут быть записаны также в виде

2. В параметрическом виде уравнения прямой линии в пространстве записываются так:

где t - параметр.

3. Общие уравнения прямой:

Каждое из уравнений (5) - уравнение плоскости, и таким образом прямая в пространстве может рассматриваться как пересечение двух плоскостей, причем плоскости эти предполагаются непараллельными, т. е. соотношение

не имеет места.

4. Условие параллельности двух прямых в пространстве:

имеет вид

5. Условие перпендикулярности двух прямых (6) имеет вид

6. Угол между двумя прямыми (6) определяется по формуле

7. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂), запишутся в виде

24 Прямые и плоскости в пространстве

Аксиомы о свойствах плоскости

• Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость.

• Две плоскости, которые имеют общую точку, пересекаются по прямой, содержащей эту точку.

• Если плоскости принадлежат две точки прямой, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Выводы аксиом

1. Одну и только одну плоскость можно провести через:

   • прямую и точку, не принадлежащую этой прямой;

   • две пересекающиеся прямые;

   • две параллельные прямые.

2. Прямая в пространстве может принадлежать бесконечному множеству плоскостей.

Если плоскость и прямая, которая не лежит на ней, перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.

Прямая, параллельная некоторой прямой, лежащей в плоскости, параллельная и самой плоскости.

Две плоскости, содержащие параллельные прямые, пересекаются по прямой, параллельной данным.

Плоскость, содержащая некоторую прямую, параллельную другой плоскости, пересекающей последнюю по прямой, параллельной данной.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то и другая прямая параллельна этой плоскости или принадлежит ей.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двух прямым пересекающимся и лежащим в этой плоскости.

Параллельными есть плоскости, которые не имеют общих точек. Если же плоскости имеют общую прямую, то их называют пересеченными.

Две плоскости параллельны, если одна из них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в иной плоскости.

Если параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны между собой.

Прямая, лежащая в одной из перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная к линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости.

Если плоскость перпендикулярна к двум пересекающимся плоскостям, то она перпендикулярна к ребру, образованного ими двугранного угла.

Если плоскость перпендикулярна к ребру двугранного угла, то она перпендикулярна и к плоскостям, что его создали.

Прямые называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Угол между параллельными прямыми равен 0°.

Если же у прямых есть общая точка, то они называются пересекающимися. Углом между пересекающимися прямыми называется меньший из углов, которые образуются при пересечении прямых.

Если прямые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, то их называют скрещивающимися. Через каждую из скрещивающихся прямых можно провести одну и только одну плоскость, параллельную другой прямой. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и параллельны данным скрещивающимся прямым.