§4. Скользящий ненагруженный резерв

Скользящий резерв применяется в системе, имеющей одинаковые элементы. Такие же элементы используются в резерве. Пусть в системе n основных элементов, соединенных последовательно в смысле надежности, и m резервных. Резервные находятся в ненагруженном состоянии (отказать не могут), а после отказа любого основного элемента его может заменить любой из резервных. Эта возможность и составляет суть скользящего резерва. Время замены, как и раньше, считается пренебрежимо малым. Схема, отражающая изложенные предположения, приведена на рис.

Рис.3.4.1

Пусть R(t) – общая для всех элементов функция надежности. Рассмотрим предварительно случай одного резервного элемента (m =1). Резервированная система не откажет за время t в следующих двух несовместных случаях.

1) Не откажет ни один из основных элементов; вероятность этого события равна

Rⁿ(t).

2) Произойдет отказ одного (любого) из n основных элементов в некоторый момент внутри интервала (0,t), остальные (n−1) основных элементов сохранят работоспособность на этом интервале, а резервный элемент не откажет на интервале от момента отказа основного до t. Пользуясь рассуждениями, аналогичными применявшимся в предыдущем параграфе, найдем вероятность этого события

.

Тогда функция надежности резервированной системы как вероятность суммы рассмотренных событий будет описываться выражением

R_рез(t) = Rⁿ(t) . (3.4.1)

Можно получить и обобщение этой формулы на случай произвольного количества резервных элементов подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе. Однако с точки зрения практических приложений полезнее перейти к случаю экспоненциального закона надежности элементов системы

R(t)= .

Подстановка этого выражения в ( ) дает

R_рез(t) = ^,

а после преобразований

R_рез(t) = (1+nλt). (3.4.2)

Обобщение этой формулы на случай любого числа резервных элементов, приводимое здесь без вывода, имеет следующий вид

R_рез(t) = . ( 3.4.3)

Расчеты по формуле ( ) обнаруживают высокую эффективность скользящего резерва, особенно при большом количестве основных элементов.

▲ Пример. Запоминающее устройство содержит 2¹⁰ = 1024 ячейки памяти, а интенсивность отказов каждой из них λ= 10⁻⁶ 1/час. Требуется безотказная работа устройства в течение 500 час.

Для упрощения вычислений округлим число ячеек (основных элементов) до величины n=1000. Подробная запись выражения ( ),например, при m=4 после подстановки числового значения nλt = 1000∙10^-6 ∙500 = 0,5 выглядит так

R_рез(500) = e^-0,5 (1+0,5+0,5²/2+0,5³/3∙2+0,5⁴/4∙3∙2) = 0,9998.

В таблице приведены значения вероятности безотказной работы в течение 500 часов системы без резерва (m=0) и при числе резервных элементов (ячеек памяти) от 1 до 4.

m	0	1	2	3	4
Rрез	0,6065	0,9098	0,98561	0,9982	0,9998

Как видно из таблицы, наличие только одного резервного элемента на 1000 основных резко повышает вероятность безотказной работы с практически неприемлемого значения 0,6065 до допустимой величины 0,9098, а четырех резервных элементов достаточно, чтобы довести эту вероятность до весьма близкого к единице значения 0,9998.▲

Схема скользящего резервирования ( и формула ( )) применима к практической ситуации с использованием относительно небольшого количества запасных частей для многочисленной группы однотипных элементов в составе объекта.