По учету фактора неопределенности модели распадаются на :

• детерменированные, если в них результаты однозначно определяются управляющими воздействиями

• стохастические (вероятностные), если на входе, при задании модели определенной совокупности значений, - на ее выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайных факторов.

Перечисленные экономико-математические модели могут еще классифицироваться по характеристике математических объектов, включенных в модель т.е. по типу математического аппарата, используемого в модели на:

• матричные модели

• модели линейного и нелинейного программирования

• корреляционно-регрессионные модели

• модели теории массового обслуживания

• модели сетевого планирования

• модели теории игр и т.д.

Например, экономико-математическая модель межотраслевого баланса затрат труда является одновременно макроэкономической, аналитической, балансовой, матричной, детерменированной моделью.

Лекция 26. Составление модели линейного программирования

В общем виде задача линейного программирования может быть записана следующим образом:

(2,3)

(2,4)

j=1,n (2,5)

• где, называется целевой функцией

• ограничение (2,4) называется функциональными ограничениями.

• Ограничение 2,5) называется прямыми ограничениями или условиями не отрицательности

Рассмотрим получение математической модели и ее решение на примере предприятия

Пусть на предприятии есть две категории рабочих:

• Основные

• Вспомогательные

Нормы затрат труда на производство единицы двуъ видов продукции, наличие трудовых ресурсов на предприятии и цены единиц продукции приведены в таблице

Требуется составить план выпуска продукции при имеющихся ограничениях на трудовые ресурсы. План должен обеспечивать наибольшую общую стоимость выпущенной продукции.

Решение.

Пусть - объемы выпуска продукции каждого вида.

Тогда целевая функция задачи имеет вид:

Функциональные ограничения определяются объемами имеющихся трудовых ресурсов:

Условия неотрицательности переменных будут

0 ;

;

Таким образом, получаем задачу линейного программирования (ЗЛП), которую можно решить с помощью электронных таблиц. (на практике)

Лекция по теме:»Процедура поиска решения»

Для решения более трудных задач используется процедура по­иска решения, которая намного сложнее, чем подбор параметра

Инструмент Поиск решения является надстройкой Excel, которая позволяет решать оптимизационные задачи. Ес­ли в меню Сервис отсутствует команда Поиск. решения, значит, нужно загрузить данную надстройку. Для этого выберите команду Сервис^ Надстройки и в раскрывшемся диалоговом окне Над­стройки установить флажок Поиск решения.

Процедура поиска решения позволяет отыскать такое решение задачи (или несколько решений), при котором значение в задан­ной ячейке рабочего листа (в целевой ячейке) достигает максимума или минимума либо равняется определенному числу.

Средство поиска решения, как правило, используется для за­дач, которые удовлетворяют перечисленным ниже условиям:

Значение целевой ячейки зависит от значений других ячеек и формул.

Значения изменяемых ячеек находятся в определенных пре­делах или удовлетворяют определенным ограничениям.

Задача оптимального использования ресурсов

В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с

многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуемому соответствующей целевой функцией (например, иметь минимум затрат, максимум продукции).

Например, фабрика имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов:

• рабочую силу,

• деньги,

• сырье,

• оборудование,

• производственные площади и т.п.

Допустим, например, ресурсы трех видов: рабочая сила, сырье и оборудование - имеются в количестве соответственно 80 (чел/дней), 480 (кг) и 130 (станко/ч). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в таблице 1.

Таблица 1

Р есурсы Нормы расхода ресурсов на единицу Наличие

п родукции ресурсов

Ковер Ковер Ковер Ковер

«Лужайка «Силуэт» «Детский» «Дымка»

Труд 7 2 2 6 80

Сырье 5 8 4 3 480

Оборудование 2 4 1 8 130

Цена (тыс.руб) | 3 | 4 | 3 | 1 |

У кладываясь в отведенные ресурсы, требуется найти такой план выпуска продукции, при котором будет максимальной общая стоимость выпускаемой продукции.

Обозначим через Х1Х2,Х₃,Х₄ количество ковров каждого типа.

Экономико-математическая модель задачи.

Целевая функция - это выражение, которое необходимо максимизировать:

F(x) = ЗХ₁ + 4Хг + ЗХ₃ + Х₄.

Ограничения по ресурсам

7Х₁ + 2Х₂ + 2Х₃ + 6Х₄ <= 80,

5Xi + 8Х₂ + 4Х₃ + ЗХ₄ <= 480,

2Х₁+4Х₂ + Хз + 8Х₄<=130,

Х_ь Х₂,Хз,Х₄>=0.

Технология решения ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ с помощью

функции ПОИСКА РЕШЕНИЙ

Поиск решения - это надстройка EXCEL, которая позволяет решать оптимизационные задачи. Если в меню Сервис отсутствует команда "Поиск решения, значит, необходимо загрузить надстройку следующим образом. Выберите команду Сервис - Надстройки (Add-lns) и активизируйте надстройку Поиск решения (Solver- ADD-in).

Для решения любой задачи линейного программирования (ЗЛП) необходимо:

• Создать форму для ввода условий задачи.

• Указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).

• Ввести исходные данные.

• Ввести зависимость для целевой функции.

• Ввести зависимости для ограничений.

• Указать назначение целевой функции (установить целевую ячейку).

• Ввести ограничения.

• Ввести параметры для решения ЗЛП

Для нашей задачи подготовим в электронных таблицах форму для ввода условий.

Рис.1 Введена форма для ввода данных

В нашей задаче оптимальные (изменяемые количества продукции) значения вектора Х= (Xi, X₂, Хз, Х₄) будут помещены в ячейках ВЗ:ЕЗ, оптимальное значение целевой функции - в ячейке F4.

Введем исходные данные в созданную форму. Получим результат, показанный на рис. 2.

Рис. 2 Данные введены

3. Введем зависимость для целевой функции (обозначим через М1 следующее действие - «один щелчок левой кнопкой мыши»):

• Курсор в F4.

• Курсор на кнопку Мастер функций (Insert - Function).

• М1. На экране диалоговое окно Мастер функций шаг 1 из 2.

• Курсор в окно Категория (Or select a category) на категорию Математические(МаИ1 & Trig).

• М1.

• Курсор в окно Функции на CyMMnPOM3B(SUMPRODUCT).

• М1.

• В массив 1 ввести (адреса ячеек во все диалоговые окна удобно вводить не с клавиатуры, а протаскивая мышь и выделяя те ячейки, чьи адреса следует ввести) - В$3:Е$3.

• В массив 2 ввести В4:Е4

ОК. На экране: в F4 введена функция, как показано на рис.3.

Рис.3. Вводится функция для вычисления целевой функции.

• Введем зависимость для левых частей :

• Курсор в F4.

• Копировать в буфер.

• Курсор в F7.

• Вставить из буфера.

• Курсор в F8.

• Вставить из буфера.

• Курсор в F9.

• Вставить из буфера.

На этом ввод зависимостей закончен.

Запуск Поиска решения

После выбора команд Cepвис =>Поиск решения появится

диалоговое окно Поиск решения

В диалоговом окне Поиск решения есть три основных параметра, которые следует установить:

Установить целевую ячейку

Изменяя ячейки

Ограничения

Сначала нужно заполнить поле «Установить целевую ячейку». Во

всех задачах для средства Поиск решения оптимизируется результат в одной из ячеек рабочего листа. Целевая ячейка связана с другими ячейками этого рабочего листа с помощью формул. Средство Поиск решения использует формулы, которые дают результат в целевой ячейке, для проверки возможных решений. Можно выбрать поиск наименьшего или наибольшего значения для целевой ячейки или же установить конкретное значение.

Второй важный параметр средства Поиск решения - это параметр Изменяя ячейки. Изменяемые ячейки - это те ячейки, значения в которых будут изменяться для того, чтобы оптимизировать результат в целевой ячейке. Для поиска решения можно указать до 200 изменяемых ячеек. К изменяемым ячейкам предъявляется два основных требования: они не должны содержать формул, и изменение их значений должно отражаться на изменении результата в целевой ячейке. Другими словами, целевая ячейка зависима от изменяемых ячеек. В нашем случае это необходимые количества выпускаемой продукции.

6. Назначение целевой функции (установить целевую ячейку).

Курсор в поле «Установить целевую ячейку».

• Ввести адрес $F$4.

• Ввести направление целевой функции: Максимальному значению. Ввести адреса искомых переменных:

• Курсор в поле «Изменяя ячейки».

• Ввести адреса: В$3:Е$3.

Третий параметр, который нужно вводить для Поиска решения - это Ограничения.

7. Ввод ограничений.

• Курсор в поле «Добавить». Появится диалоговое окно Добавление ограничения (рис.4).

• В поле «Ссылка на ячейку» ввести адрес $F$7

• Ввести знак ограничения <=

• Курсор в правое окно

• Ввести адрес $H$7

Добавить. На экране опять диалоговое окно Добавление ограничения

Ввести остальные ограничения

После ввода последнего ограничения ввести ОК

На экране появится диалоговое окно Поиск решения с введенными условиями

Рис. 5. Введены все условия для решения задачи

8. Ввод параметров для решения ЗЛП (рис.6)

Открыть окно Параметры поиска решения

Установить флажок Линейная модель , что обеспечивает применение симплекс-метода.

Установить флажок Неотрицательные значения

ОК. (На экране диалоговое окно Поиска решения).

Полученное решение означает, что максимальный доход 150 тыс. р фабрика может получить при выпуске 30 ковров второго вида и 10 ковров третьего вида. При этом ресурсы труд и оборудование будут использованы полностью, а из 480 кг пряжи (ресурс сырье) будет использовано 280 кг.

• Выполнить. (На экране диалоговое окно Результаты поиска)

Р ис. 2.2.7, Решение кайлено.

Создание отчета по результатам поиска решения

EXCEL позволяет представить результаты поиска решения в форме отче Существует три типа таких отчетов:

Результаты (Answer). В отчет включаются исходные и конечные значе! целевой и влияющих ячеек, дополнительные сведения об ограничениях.

Устойчивость (Sensitivity). Отчет, содержащий сведения чувствительности решения к малым изменениям в изменяемых ячейках ил1 формулах ограничений.

Пределы (Limits). Помимо исходных и конечных значений изменяемы; целевой ячеек в отчет включаются верхние и нижние границы значений, котор могут принимать влияющие ячейки при соблюдении ограничений.

Отчет может быть сформирован автоматически. После того как получе результаты Поиска решения на этом же экране следует выбрать Тип отчета (справа внизу), ОК. В нашем случае получаем только Тип отчета Результаты т.к. отчеты Устойчивость и Пределы не применимы для задач с целочисленными ограничениями.

О тчет по результатам

Ц елевая ячейка (максимум)

Ячейка Имя Исходное Результат

значение

$F$4 [ Коэф. вЦФ I 0 | 150

Изменяемые ячейки

Я чейка Имя Исходное Результат

значение

$ В$3 Значение Х1 0 С)

$С$3 Значение Х2 0 30

$Р$3 Значение ХЗ С) 10

$Е$3 | Значение Х4 [ 0 [0

Ограничения

$ F$7 I Труд левая часть 80 I $F$7<=$H$7

$F$8 Сырье левая 280 " $F$8<=$H$8

часть

$F$9 Оборудование 130 " $F$9<=$H$9

левая часть

В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных Х1, Хг, Хз, Х4, которые соответственно равны 0, 30, 10, 0, значение целевой функции -150, а также левые части ограничений.

Задания для самостоятельной работы по 1 разделу.

Для увеличения выпуска продукции решено расширить производство за счет использования имеющейся свободной площади в 70 кв.м, на которой предполагается установить оборудование двух видов общей стоимостью не более 100 млн. руб. Каждый комплект оборудования вида А занимает 20 кв. м, стоит 10 млн. руб. и позволяет получить за смену 40 ед. продукции, а каждый комплект оборудования вида В занимает 10 кв. м, стоит 30 млн. руб, и позволяет получить за смену 80 ед. продукции. Определить значение максимально возможного прироста выпуска продукции.

Требуется приобрести партию холодильников типов ("Ока" и "Север") в количестве не менее 43 штук. Цена холодильника "Ока" вдвое превышает цену холодильника "Север". При каком количестве холодильников "Ока" достигаете; минимум расходов на покупку, если число холодильников "Ока" не должно отличаться от удвоенного числа холодильников "Север" более чем на три?

На счет, который вкладчик имел в начале года, начисляется в конце этого года г1 процентов, а на счет который вкладчик имел в начале второго года, начисляется в конце этого года г2 процентов, причем г1+г2=140. Вкладчик положил на счет в начале первого года некоторую сумму и снял в конце этого года (после начисления процентов) пятую часть положенной суммы. При каком значении г1 счет вкладчика в конце второго года окажется максимально возможным?

68