26. Формула Грина

Формула Грина связывает двойной интеграл по плоской области с криволинейным интегралом по контуру этой области.

Пусть функции P(x,y), Q(x,y), P'_y(х,у), Q'_x(х,у) непрерывны в замкнутой области D, ограниченной контуром L (рис. 3.6).

Пусть контур L, кроме того, пересекается прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках.

Пусть уравнение АСВ есть y = y₁(x) при a ≤ x ≤ b, и уравнение АКВ есть y = y₂(x) при a ≤ x ≤ b.

Преобразуем двойной интеграл

здесь символ означает криволинейный интеграл по замкнутому контуру L.

Аналогично получается Вычитая из формулы (3.9) формулу (3.8), получаем формулу Грина

В формулах (3.8), (3.9) и (3.10) направление обхода контура - положительное (против часовой стрелки), т. е. область D при движении по контуру L всё время остается слева. С помощью формулы Грина (3.10) можно получить выражения площади плоской фигуры через криволинейный интеграл по контуру этой фигуры.

Для этого достаточно подобрать P(x,y) и Q(х,y) такими, чтобы в области D выполнялось условие ,

тогда двойной интеграл в формуле (3.10) будет давать величину S площади области D.

Например:

27.Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Пусть в области D заданы непрерывные функции P(x,y) и Q(х,y) и M₀M - гладкая дуга, лежащая в области D.

Рассмотрим вопрос о независимости интеграла

от формы пути интегрирования. Имеет место следующая теорема.

Теорема

Пусть функции P, Q, P'_y, Q'_x определены и непрерывны в односвязной, ограниченной замкнутой области D плоскости Оху.

Тогда следующие четыре условия равносильны между собой:

1) , где L - замкнутый контур в области D;

2) Интеграл не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от положения точек m0 и м;

3) Pdx + Qdy = dU - полный дифференциал некоторой функции U(x,y);

4) В каждой точке области d.

Идея доказательства этой теоремы: показывается, что из условия 1 условие 2 условие 3 условие 4 условие 1.

*****************************

28.Циркуляция вектора. Теорема Стокса.

Пусть поверхность S ограничена кусочно-гладким контуром L (рис. 3.14).

Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывно дифференцируемы на поверхности S.

Тогда имеет место формула Стокса:

 

т. е. формула Стокса устанавливает связь между интегралом по поверхности и криволинейным интегралом по контуру, ограничивающему эту поверхность (на рис. 3.14 показаны выбранная сторона поверхности и направление обхода контура L).

**************************** 

29. Числовой ряд. Сходимость числового ряда

Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение

                                                                                                                  (1)

называется числовым рядом. Числа  называются членами этого ряда. Член  ряда (1), стоящий на -м месте, считая от начала, называется общим членом этого ряда. Ряд (1) считается заданным, если известен общий член его, выраженный как функция номера .

Выражение (1) удобно обозначать следующим образом: .

Опр. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда.

Рассмотрим частичные суммы:       

Опр. Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд (1) сходится.

Если  не существует (например , при ), то говорят, что ряд (1) расходится и суммы не имеет.

30. Ряд геометрической прогрессии.

                                                    .                                               

Данный числовой ряд – сумма всех членов геометрической прогрессии с первым членом  и знаменателем   Вычисляя сумму первых  чисел, получаем:

 или .

Переходя к вычислению предела, заметим, что в зависимости от значений  и  частичная сумма ряда принимает различные значения.

1). Если , то  при . Значит, в случае ряд сходится и его сумма .

2). Если , то  и тогда  при , т.е.  не существует. Таким образом, в случае  ряд расходится.

3) Если , то ряд имеет вид: . В этом случае , т.е. ряд расходится.

Если  то . В этом случае:

Следовательно, частичная сумма предела не имеет.

Таким образом, сумма членов геометрической прогрессии (с первым членом отличным от нуля) сходится только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

31. Гармонический числовой ряд. Обобщенный гармонический ряд.

Ряд вида (1) называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда:

.

Сумма больше суммы, представленной следующим образом:

или .

Если , то , или .

Следовательно, если , то , т.е. гармонический ряд расходится.

Ряд вида (2) называется обобщенным гармоническим.

Если , то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если , то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При имеем геометрический ряд, в котором ; он является сходящимся.

Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .