Тема 13.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ

При выводе основного уравнения МКТ, предполагалось, что молекулы имеют одинаковые скорости, равные - средней квадратичной скорости. Даже, если предположить, что в какой-то момент у всех молекул одинаковые скорости, то через некоторое время вследствие их непрерывного хаотического движения, молекулы приобретут различные скорости.

Впервые теоретически вывел формулу для распределения молекул по скоростям Максвелл (1859 г). Впоследствии эта формула была подтверждена опытами.

формула Максвелла для распределения молекул по абсолютным скоростям .

Здесь:

m – масса одной молекулы, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура газа, v - скорость молекулы, N – общее число молекул в сосуде.

Выясним смысл функции f(v). Предположим, что мы можем измерить с неограниченной точностью скорость каждой молекулы. Тогда у каждой молекулы будет своя скорость. Если мы на графике отложим число молекул в зависимости от скорости, то никакой кривой распределения не получим (см. рис. первый график). Тогда мы выберем интервал скоростей, например, v = 10 м/с. В интервалы 1-10 м/с, 11-20 м/с, … попадет некоторое количество молекул N.

На графике получится столбчатая диаграмма, называемая гистограммой (второй график). Так как интервал 10 м/с мы выбрали произвольно, то чтобы от него «избавиться», надо на него поделить (N/v) и перейти к бесконечно малым величинам, т.е. отложить на графике величину (dN/dv) (третий график). Теперь надо «избавиться» от общего числа молекул N в сосуде, т.к. в разных сосудах их разное количество, и поделить на N (четвертый график) В результате мы будем иметь дело со следующими величинами.

	число молекул со скоростями от v до v + dv
	число молекул со скоростями от v до v + dv в расчете на единичный интервал скоростей
	относительное число молекул или вероятность (Р) того, что скорость молекулы попадает в интервал от от v до v + dv
	f называется плотность вероятности - это вероятность того, что скорость молекулы попадает в интервал от от v до v + dv в расчете на единичный интервал скоростей

Заштрихованная площадь под кривой на графике 3 равна общему числу молекул, а под кривой на графике 4 - равна 1. Скорость, соответствующая максимуму на кривой Максвелла, называется наиболее вероятной скоростью - v_вер – это скорость, вблизи которой находятся скорости большинства молекул. Ее можно найти, если производную приравнять нулю: df/dv = 0.

	запишем формулу Максвелла, введя обозначения А и В для констант
	возьмем производную
	получим выражение для наиболее вероятной скорости

Пользуясь распределением Максвелла, можно найти еще одну скорость – среднюю арифметическую. Если нужно найти средний рост группы людей, надо сложить рост всех людей и поделить на число людей. Со скоростями молекул так сделать нельзя, потому что из распределения Максвелла следует, что существует различная вероятность того, что молекула имеет ту или иную скорость, и эту вероятность следует учитывать при суммировании (точнее, интегрировании, т.к. распределение по скоростям – непрерывная функция).

	это не табличный интеграл, но в справочниках он есть, мы запишем только результат
	средняя арифметическая скорость молекул

Таким образом, в МКТ используются три скорости молекул, соотношение между которыми: v_кв : v_ар : v_вер = 1,22 : 1,13 : 1

	средняя квадратичная скорость (применяется при рассмотрении кинетической энергии молекул )
	средняя арифметическая скорость (применяется тогда, когда речь идет о свободном пробеге молекул, x= vар t)
	наиболее вероятная скорость молекул m – масса одной молекулы

БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА.

Рассматривая распределение молекул по скоростям, мы не учитывали действие внешней силы - силы тяжести – и предполагали, что молекулы равномерно распределяются по объему сосуда. В действительности распределение молекул по объему происходит под действием двух факторов: 1) силы тяжести, которая стремиться «собрать» их на дне сосуда и 2) наличием непрерывного теплового движения молекул, вследствие которого молекулы стремятся равномерно распределиться по всему объему. Это приводит к тому, что вблизи дна сосуда концентрация молекул газа больше, чем в верхней его части. В небольших сосудах это различие пренебрежимо мало, но в масштабах земной атмосферы различное распределение молекул приводит к падению давления воздуха с высотой. Выведем формулу зависимости давления воздуха p от высоты h над поверхностью Земли. Будем предполагать, что температура воздуха T постоянна и воздух  идеальный газ.

	гидростатическое давление на высотах h и h+ dh   плотность воздуха
	вычитая, получим дифференциальное уравнение с тремя переменными p, h и 
	выразим  из уравнения состояния и подставим в 
	разделим переменные p и h и, интегрируя, получим формулу, которую называют барометрической формулой

б арометрическая формула. Здесь:

p – давление на высоте h,

p_o - давление на поверхности Земли (h = 0)

Давление р и концентрация молекул n связаны

уравнением состояния , поэтому можно записать:

это выражение называется распределением Больцмана

для молекул в поле тяжести Земли.

Если мы рассмотрим не нейтральные молекулы, а заряженные частицы, на которые будет действовать внешнее электрическое поле, то частицы будут распределяться по тому же закону, но вместо потенциальной энергии mgh, следует записать W_пот :

распределение Больцмана для частиц во внешнем потенциальном поле.

Здесь:

n – концентрация частиц, имеющих потенциальную энергию W_пот ,

n₀ -   , находящихся на том уровне, где условно принято W_пот = 0.