36) Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция y = f ( x ) дифференцируема на некотором отрезке [ a , b ]. Значения производной f'(x) зависят от х, т.е. производная f'(x) тоже представляет собой некоторую функцию от х. Дифференцируя эту функцию, мы получаем производную от производной.

О. Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной. Обозначается

y''=( f'( x ))'= f''( x ). (4.5)

Физический смысл второй производной: вторая производная f''(x) равна скорости изменения скорости, т.е. ускорению движущейся точки в момент времени х.

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f'''(x).

О. Если определена ( n -1) -я производная f⁽ⁿ ^-1⁾(x) и существует её производная, то она называется n-й производной функции f(x):

f ⁽ⁿ⁾( x ) = ( f ⁽ⁿ^-1⁾( x ))' . (4.6)

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Функцию, имеющую на данном множестве конечную производную порядка n , называют n раз дифференцируемой на данном множестве.

Дифференциал функции y = f ( x ) выражается в виде dy = f'( x ) dx . Тогда, если он является некоторой функцией от х, то справедливо следующее:

О. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом:

d ²y = f''( x ) dx ². (4.7)

О. Дифференциал от дифференциала n -го порядка называется дифференциалом ( n +1)-го порядка.

Пример. Найти дифференциал функции y = cosx .

Найдем f'( x )=- sinx . Тогда по формуле (4.4): dy =- sinxdx .

Пример. Найти дифференциал второго порядка функции y = ln ⁴x ².

Найдем вторую производную от функции:

Пример. Найти дифференциал функции y = x^tgx .

Найдем f'( x ). Для этого прологарифмируем обе части равенства:

lny=lnx^tgx по свойству логарифма получаем lny=tgx ? lnx. Продифференцируем обе части:

37)

38) Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка (т.е. на (а; b)) и на концах отрезка обращается в нуль f(a) = f(b) = 0, то на (a; b) найдется хотя бы одна точка c  (a; b), в которой f'(c) = 0.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a; b], то по одной из теорем о непрерывных функциях она достигает на этом отрезке наибольшего значения и наименьшего. Пусть

Заметим, что если М = m, то f(x) = const = 0 (по условию теоремы f(a)=f(b)=0) и, следовательно, f'(x)=0при всех x  [a; b] .

Предположим, что M≠m, тогда, по крайней мере, одно из этих чисел отлично от нуля. Для определенности будем считать, что М ≠0 и М > 0.

Пусть в точке x = c f(c)=М, при этом c≠a и с ≠ b, т.к. f(a)=f(b)=0. Придадим значению c приращение Δx и рассмотрим новую точку c+Δx. Поскольку f(c) – наибольшее значение функции, то f(c+Δx) – f(c)≤0 для любого Δx. Отсюда следует, что

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→0 и учитывая, что производная при x = c существует, будем иметь:

Но неравенства f'(c) ≤ 0 и f'(c) ≥ 0 одновременно возможны лишь в случае, когда

f'(c)=0. Теорема доказана.

39) Теорема Лагранжа. Если функция y= f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c, a<c<b такая, чтоf(b) – f(a)=f'(c)(b – a).

Доказательство. Обозначим и рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) – f(a) – k(x – a).

Выясним геометрический смысл введенной функции. Для этого рассмотрим график данной функции на [a; b] и напишем уравнение хорды АВ. Заметим, что угловой коэффициент хорды и она проходит через точку A(а; f(a)). Следовательно, ее уравнение

y = f(a) + k(x – a).

Но F(x)=f(x)–[f(a)+k(x–a)]. ПоэтомуF(x) при каждом x есть разность ординат графика y= f(x) и хорды, соответствующих точкам с одинаковой абсциссой.

Легко видеть, что F(x) непрерывна на [a; b] , как разность непрерывных функций. Эта функция дифференцируема внутри [a; b] иF(a)=F(b)=0. Следовательно, к функции F(x) можно применить теорему Ролля. Согласно этой теореме найдется точка c  (a; b), что F'(c)=0. Но F '(x) = f'(x) – k, а значит,F'(c) = f'(c) – k = 0.