- •1.2. Понятие неопределенного интеграла и его свойства
- •Свойства неопределенного интеграла
- •1.3. Правила и формулы интегрирования Правила:
- •2. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •Алгоритм интегрирования методом замены переменной.
- •3. Интегрирование «по частям» в неопределенном интеграле
- •- Формула интегрирования по частям.
- •Алгоритм нахождения интеграла методом интегрирования по частям.
- •4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •Интегралы вида ,
- •5. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
- •Интегрирование рациональных дробей
- •6. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
- •7. Интегрирование тригонометрических функций
- •8. Определенный интеграл
- •8.1. Понятие определенного интеграла.
- •8.2. Геометрический смысл определенного интеграла
- •8.3. Свойства определенного интеграла
- •8.4. Интеграл как функция переменного верхнего предела
- •8.5. Производная от интеграла по переменному верхнему пределу.
- •8.6. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.7. Замена переменной в определенном интеграле
- •8.8. Интеграл с симметричными пределами от четной и нечетной функции
- •8. 9. Интегрирование «по частям» в определенном интеграле
- •4. Длина дуги кривой и ее дифференциал.
- •Задача о вычислении пути.
- •12. Несобственные интегралы
- •12.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
- •12.2. Применение формулы Ньютона-Лейбница.
- •12.3. Несобственные интегралы с конечными пределами
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Неопределенный интеграл
Пусть определена и дифференцируема на множестве , т.е. мы знаем, как найти производную этой функции. Например, известен закон движения материальной точки , то путем дифференцирования мы можем найти и .
1.1. Понятие первообразной функции
Пусть определена на .
Определение: Функция называется первообразной функцией для функции , если .
Пример.
1) - первообразная для , т.к. .
2) - тоже первообразная для , т.к. .
Таким образом, первообразная определяется не однозначно.
Теорема: Если функция является первообразной для , то функция , где – постоянная, также является первообразной для .
Обратно: Если - первообразная для , то любая другая первообразная для имеет вид
Доказательство:
1) Пусть первообразная для , это значит . Требуется доказать, что – первообразная. Продифференцируем функцию. . Это означает, что - тоже первообразная для .
2) Пусть - первообразная для и - другая первообразная для . По определению первообразной это означает, что:
, но тогда эти функции могут отличаться лишь на , т.е. . Теорема доказана.
1.2. Понятие неопределенного интеграла и его свойства
Определение: Неопределенным интегралом функции называется совокупность всех ее первообразных, т.е. . Обозначается .
Процесс отыскания первообразной функции называется интегрированием данной функции.
Примеры: 1. ; 2. ; 3. .
Свойства неопределенного интеграла
Производная, от неопределенного интеграла, равна подынтегральной функции: .
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению .
Интеграл от дифференциала какой-либо функции равен этой функции плюс постоянная: .
Пример. 1) ; 2) .
Определение: Функция, неопределенный интеграл которой существует, называется интегрируемой.
Теорема: (достаточное условие существования неопределенного интеграла). Если функция непрерывна в промежутке х, то она интегрируема в этом промежутке.
1.3. Правила и формулы интегрирования Правила:
Множитель можно выносить за знак интеграла .
Интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов этих функций .
Если интегрируется по t, то и первообразная записывается по t .
.
Доказательство.
Случаи: ;
.
Примеры:
1. ; 2. ;
3. .
Таблица интегралов
№/п |
Формула |
№/п |
Формула |
1 |
|
11 |
|
2 |
|
12 |
|
3 |
|
13 |
|
4 |
|
14 |
|
5 |
|
15 |
|
6 |
|
16 |
|
7 |
|
17 |
|
8 |
|
18 |
|
9 |
|
19 |
|
10 |
|
20 |
|
21 |
|
||
22 |
|
Таблица дифференциалов
№/п |
Формула |
№/п |
Формула |
1 |
|
12 |
|
2 |
|
13 |
|
3 |
|
14 |
|
4 |
|
15 |
|
5 |
|
16 |
|
6 |
|
17 |
|
7 |
|
18 |
|
8 |
|
19 |
|
9 |
|
20 |
|
10 |
|
21 |
|
11 |
|
22 |
|
Примеры.
Вычислить:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ;
6) .
2. Замена переменной в неопределенном интеграле
Пусть требуется найти интеграл, и мы не можем воспользоваться формулами непосредственно. Делаем замену , где - непрерывна, дифференцируема, тогда:
.
Алгоритм интегрирования методом замены переменной.
1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
4. Производят замену под интегралом.
5. Находят полученный интеграл.
6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием.
Примеры:
1)
.
2)
3) .