![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •3.1 Появление определителей в теории слау
- •3.2 Отображения
- •3.3 Перестановки n-ой степени
- •3.4 Четные и нечетные перестановки
- •3.5 Суммирование по множеству
- •3.6 Определитель n-го порядка
- •3.7 Свойства определителя
- •3.8 Теорема Лапласа
- •3.9 Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •Определитель произведения матриц
- •Формула обратной матрицы
- •Теорема Крамера
- •Упражнения
- •Историческая справка
- •Литература Основная литература.
- •Задачники и дополнительные методические материалы.
3.8 Теорема Лапласа
Пусть
,
если в матрице
вычеркнуть
строк и
столбцов,
,
то на пересечении этих строк и столбцов
образуется матрица порядка
.
Определитель этой матрицы будем называть
минором
порядка
,
составленным из элементов матрицы
,
или просто минором
-ого
порядка матрицы
.
Элементы матрицы
,
не принадлежащие ни одной из вычеркнутых
строк и ни одному из вычеркнутых столбцов,
порождают минор порядка
(
),
который будем называть минором,
дополнительным
к данному.
Алгебраическим
дополнением
данного минора называется его
дополнительный минор, умноженный на
,
где
– сумма номеров вычеркнутых строк и
столбцов. Например, в матрице
при вычеркивании
строк
и столбцов
образуется минор
второго порядка
.
Его дополнительный
минор
имеет вид
.
Так
как
,
то алгебраическим дополнением минора
является
.
Теорема Лапласа. Пусть и . Определитель матрицы равен сумме произведений всевозможных миноров -ого порядка, взятых из данных строк (столбцов), на их алгебраические дополнения.
Например, проведем разложение определителя
на основании
теоремы Лапласа по первой и третьей
строкам (
),
.
3.9 Разложение определителя по элементам строки или столбца
Мы не будем
останавливаться на доказательстве
теоремы Лапласа в общем случае, отсылая
читателя к учебнику [2], а докажем лишь
частный случай этой теоремы, когда
.
Предложение 3.15. Пусть . Тогда равен сумме произведений всевозможных элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) на их алгебраические дополнения,
(или
),
,
где через
обозначается алгебраическое дополнение
элемента
.
◄
Принимая во внимание предложение 3.6,
доказательство проведем лишь в случае
разложения определителя по произвольной
строке. Вначале рассмотрим частный
случай, когда
а
матрица А
имеет вид
и покажем, что
.
Действительно,
, (3.28)
где
– множество всех перестановок
-ой
степени вида
обладающих свойством
.
Рассмотрим множество всех отображений
вида
, (3.29)
где
.
Так как
,
есть перестановка степени
.
Но различные перестановки
из
порождают различные
перестановки
из
и
.
Поэтому множество перестановок
вида (3.29), где
,
совпадает с
.
Кроме того, по построению
и, следовательно,
.
Возвращаясь к равенству (3.28), получим,
что
.
Пусть теперь все элементы строки кроме, возможно, равны нулю,
.
(3.30)
j
Последовательными
взаимными переменами места соседних
строк и соседних столбцов переведем
строку
на место
,
а после этого – столбец
на место
.
Определитель полученной после этого
матрицы
в силу предложения 3.7 будет равен
,
где
– минор, дополнительный к элементу
,
а первые n-1
элементов последней строки матрицы
равны 0.
По доказанному выше,
.
Откуда
.
Переходя к
общему случаю, представим строку
в виде суммы
векторов-строк
порядка
,
.
В силу предложения 3.11
,
где
матрица
получена
из матрицы
заменой
её строки
на строку
.
По доказанному выше
.
Поэтому
.
►
Лекция XII.
План
3.10. Определитель произведения матриц.
3.11. Формула обратной матрицы.
3.12. Теорема Крамера.