7) Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см. Часть 1, п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

а координаты центра масс фигуры - по формулам

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы м относительно оси l называется произведение массы м на квадрат расстояния d точки до оси, т. е. Мl=m • d². Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:

Момент инерции фигуры относительно начала координат - по формуле М_о=М_х +М_у.

8) Тройным интегралом называют кратный интеграл с  .

 Здесь   — элемент объема в рассматриваемых координатах. В прямоугольных координатах  , где   является элементом объема в прямоугольных координатах.Св-ва 3-х интегралов1.  2.  3.  если V=V₁V_2, а пересечение V₁ и V₂ состоит из границы, их разделяющей.4.  если в области V функция f(x;y;z)>=0. Если в области интегрирования ƒ(х;у;z)>=(x;y;z), то и 5 . , так как в случае любая интегральная сумма имеет вид   и численно равна объему тела.6. Оценка тройного интеграла: где m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x;y;z) в области V.7. Теорема о среднем значении: если функция f(x;y;z) непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка M_o(x_o;y_o;z_o), что

цилиндрические координаты

9) Аналогично в некоторых случаях тройной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в цилиндрических координатах. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

Модуль якобиана отображения равен  . Таким образом получаем, что

Здесь rdrdφdh является элементом объема в цилиндрических координатах.

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Предполагается, что выполнены следующие условия:Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;Якобиан преобразования I (u,v,w), равный

отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

Вприведенном выражении   означает абсолютное значение якобиана. 

10. Кроме цилиндрических можно также переходить и в сферические координаты. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

Модуль якобиана отображения равен  . Таким образом получаем, что

Здесь r²sin θdrdφdθ является элементом объема в сферических координатах.

12. Криволинейные интегралы первого рода

   Пусть на линии γ определена функция ƒ(x; y). Проведем процесс интегрирования этой функции по линии:

1) разобьем линию между точками А и В на бесконечно малые отрезки точками М₁, М₂, М₃, … ,М_n;

2) внутри каждого отрезка выбираем точки с₁, с₂, с₃, …;

3) вычислим значение в этих точках значения функций f (с₁); f (с₂); f (с₃), …;

4) умножим эти значения на длины ячеек, в которых выбирались соответствующие точки

Эта сумма называется криволинейной интегральной суммой первого рода.

   Криволинейным интегралом первого рода называют предел криволинейной интегральной суммы первого рода при условии стремления к нулю длин всех ячеек, если этот предел существует, не зависит от способа разбиения линии и выбора точек внутри каждой ячейки. Итак,

есть криволинейный интеграл первого рода.

Свойства криволинейного интеграла первого рода

1)Криволинейный интеграл линейной связки функций равен линейной связки интегралов этих функций Это свойство означает, что криволинейный интеграл обладает свойством линейности по подынтегральной функции.

2)Если линию интегрирования разбить на части, то интеграл по линии равен сумме интегралов по её частям

Это свойство означает, что криволинейный интеграл обладает свойством аддитивности по линии интегрирования

.3)Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования

Криволинейный интеграл по замкнутой линии обозначается так

Способ вычисления криволинейного интеграла первого рода в декартовой системе координат

Криволинейного интеграла первого рода в декартовой системе координат вычисляется по формуле ДействительноВычисление криволинейного интеграла первого рода в параметрической формеПусть линия интегрирования задана в параметрической форме х = φ (t), у = ψ(t). Тогда

где А(φ(α), ψ(α)), В( φ(β), ψ(β)) .    Действительно, по определению криволинейного интеграла первого рода имеем

14)Формула Грина  Если D - односвязная область, то   (граница области D) - простая замкнутая кривая, обход по которой совершается против часовой стрелки. Если D - неодносвязна, то   - совокупность замкнутых кривых, обход по которым совершается так, что D остается слева.

Используя формулу Грина, найти интеграл  , где кривая C представляет собой окружность, заданную уравнением  . Решение.

Сначала запишем компоненты векторного поля

       и определим частные производные  Следовательно, интеграл можно записать в следующем виде

       В последнем равенстве двойной интеграл   численно равен площади круга  , то есть  . Тогда интеграл равен