26. Планарные графы. Непланарность графов к5 и к3,3. Теорема Понтрягина-Куротовского.
Граф называется планарным, если его можно перерисовать в плоский граф.
Как известно, возможно несколько изображений одного и того же графа. Все изоморфные графы несут одну и ту же информацию. На практике, при изображении микросхем необходимо выяснить, можно ли схему радиоэлектронного устройства, которая представляет собой граф, изобразить на плоскости без пересечений проводников. Аналогичная задача возникает при проектировании ж/д путей и др. путей, где нежелательны переезды.
Плоским называется граф, вершины которого являются точками плоскости, а ребра – непрерывными плоскими линиями без самопересечений, причем никакие 2 ребра не имеют общих точек, инцидентных им обеим вершин. Любой граф изоморфен, т.к. граф наз планарным. Все планарные графы укладываются на плоскости (имеют плоскую укладку). Очевидно что:
Всякий подграф планарного графа – планарен.
Граф планарен т. и т. т., к. каждая связанная компонента этого графа – планарный граф.
Теорема (Понтрягина-Куратовского): граф планарен т. и т. т., к. он не содержит подграфов гомеоморфных К5 и К3,3
Теорема: Граф планарен т. и т. т., к. в нем нет стягиваемых(т.е. получаемых последовательностью отождествлений вершин, связанных ребрами) к графам К5 и К3,3
Граф назыв двудольным, если сущ-т такое разбиение множества его вершин на 2 части (доли), что концы каждого ребра принадлежат каждым частям. Если при этом 2 вершины входящие в разные доли смежны, то граф наз полным двудольным.
Полный двудольный граф, доли которого состоят из p и q вершин обозначается Кp,q.
Теорема Понтрягина-Куратовского: Граф G планарен тогда и только тогда, когда в нем нет подграфов, геоморфных К5 и К3,3.
27. Теорема Эйлера и ее следствия.
Th| Эйлера
Для всякого связного планарного графа верно равенство V – E + F = 2 (1);
где V – число вершин, E – число ребер; F – число граней.
► (методом математической индукции)
Если E=0, V=1 и F=1, в этом случае очевидно: F = E–V+2 (1 = 0–1+2)
Предположим, что Th.выполнима для всех графов с числом ребер > n.
Пусть, Г – связный граф с n ребрами (E=n). Если граф Г – дерево, то V=n+1 значит F=1, т.е. Th. верна.
Если граф Г не дерево, выберем любую цепь графа Г и удалим одно из его ребер, в результате получим граф Г', который является плоским и имеет (n-1)-ребро, V-вершин и (F-1)-граней. В силу нашего предположения формула (1) выполняется.
28. Деревья.
Существует специальный тип графа называемый «дерево», который вообще не имеет циклов. Впервые понятие дерево ввел в 1847г. Густав Риргоф будучи студентом Кенигсбергского университета, он сформировал законы управления течением тока в электрических сетях. Сети проводов могут быть рассмотрены как графы. Уравнения, которые вытекают из законов Кирхгофа, не являются независимыми. Он использовал деревья для получения независимых подмножеств уравнений.
В последнее десятилетие компьютерная наука столкнулась с тем, что деревья обеспечивают удобную структуру хранения и _______ определенных типов данных – так называемых иерархических баз данных.
Дерево – это специальный граф, который не содержит циклов.
Из определения ясно, что там не может быть петли и не может быть множества ребер соединяющих одни и те же вершины.
Ex.
Одна из причин, по которой деревья имеют большое значение в прикладных задачах теории графов связана с тем, что любой связанный граф содержит в себе дерево, которое называют деревом покрытия или покрывным деревом, которое связывает все вершины графа. Помимо этого, дерево покрытия обеспечивает удобное множество путей связывающих любые пары вершин графа.
Th. Каждый связный граф содержит в себе дерево покрытия.
Ex.
Проводится эксперимент, при котором морскую свинку запускают в лабиринт. Сколькими способами она может попасть к пище, если она ни в один тупик не заходит более одного раза, причем попав в тупик, возвращается на перекресток, с которого вступила в тупик.
|
2 |
|
|
|
7 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
6 |
||||
|
|
|
|||||||||||||
4 |
|||||||||||||||
Нарисовать дерево всевозможных путей. Какова длинна самого короткого и самого длинного пути.
Количество возможных маршрутов = 8
Min: 0–>1–>3–>5–>7
Max:0–>1–>2–>1–>3–>4–>3–>3–>6–>5–>7