Алгебра предикатов

1)Предикаты.

Предикат — некоторое отображение заданное на некотором множестве9называемым в данном случае предметным) и имеющее в качестве области действия множество высказываний или множество истинностных значений 0,1

Множеством истинности предиката назовем подмножество предметной области, все элементы которого и только они обращают предикат в истинное высказывание.

Если множество истинности совпадают с предметной областью результат назовем тождественной истинностью.

Если множество истинности предиката пустое, то назовем его тождественно ложным.

Предикаты равносильны если у них совпадают предметные области и множества истинности.

Подстановка предиката вместо переменной объекта из предметной области называется фиксацией переменной.

Фиксация переменной(одной) в n местном предикате приводит к n-1 местного предиката.

2)Операции логики высказываний над предикатами.

Р(х)- предикат

1) - предикат множество истинности которого является дополнением до множества истинности предиката Р(х)

2)Конъюнкция предиката R(x)=P(x)/\Q(x) – пересечение множества истинности исходных предикатов. (только общая часть)

3) Дизъюнкцией предиката называется предикат, множество истинности которого является объединением исходных множеств (все части)

3)Кванторы.

Ква́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают:

• Квантор всеобщности (обозначение:  , читается: «для любого…»). Квантор всеобщности это операция обращающая одноместный предикат в истинное высказывание в том единственном случае когда предикат тождественно истинный.

• Квантор существования (обозначение:  , читается: «существует…» или «найдётся…»). Квантор существования операция превращающая предикат в ложное высказывание в том единственном случае, когда предикат тождественно ложный.

Предикат, на который навешан квантор, называется областью действия квантора.

Переменная, по которой навешан квантор, называется связанной.

4)Формулы логики предикатов.

Понятие формулы логики предикатов.

В логике предикатов будем пользоваться следующей символикой :

1. Символы p, q, r, …- переменные высказывания, принимающие два значения: 1- истина , 0 – ложь.

2. Предметные переменные – x, y, z, … , которые пробегают значения из некоторого множества М;

x⁰, y⁰, z⁰ – предметные константы, т. е. значения предметных переменных.

3. P(·), Q(·), F(·), … - одноместные предикатные переменные;

Q(·,·,…,·), R(·,·, …,·) – n-местные предикатные переменные.

P⁰(·), Q⁰(·,·, …,·) – символы постоянных предикатов.

4. Символы логических операций:

5. Символы кванторных операций:

6. Вспомогательные символы: скобки, запятые.

Определение формулы логики предикатов.

1. Каждое высказывание как переменное, так и постоянное, является формулой (элементарной).

2. Если F(·,·, …,·) – n-местная предикатная переменная или постоянный предикат, а x₁, x₂,…, x_n– предметные переменные или предметные постоянные (не обязательно все различные), то F(x₁, x₂,…, x_n) есть формула. Такая формула называется элементарной, в ней предметные переменные являются свободными, не связанными кванторами.

3. Если А и В – формулы, причем, такие, что одна и та же предметная переменная не является в одной из них связанной, а в другой – свободной, то слова есть формулы. В этих формулах те переменные, которые в исходных формулах были свободны, являются свободными, а те, которые были связанными, являются связанными.

4. Если А – формула, то – формула, и характер предметных переменных при переходе от формулы А к формуле не меняется.

5. Если А(х) – формула, в которую предметная переменная х входит свободно, то слова и являются формулами, причем, предметная переменная входит в них связанно.

6. Всякое слово, отличное от тех, которые названы формулами в пунктах 1 – 5, не является формулой.

Например, если Р(х) и Q(x,y) – одноместный и двухместный предикаты, а q, r – переменные высказывания, то формулами будут, например, слова (выражения):

.

Не является формулой, например, слово: . Здесь нарушено условие п.3, так как формулу переменная х входит связанно, а в формулу Р(х) переменная х входит свободно.

Из определения формулы логики предикатов ясно, что всякая формула алгебры высказываний является формулой логики предикатов.