25. Действия с матрицами

Сложение матриц (A + B) есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен (cij = aij + bij).

МАТРИЦЫ ДОЛЖНЫ БЫТЬ ОДНОГО РАЗМЕРА

Умножение матрицы на скаляр - это процесс умножения каждого элемента матрицы на данный скаляр.

Перемножение матриц- это процесс, котором элемент получаемой матрицы равен сумме произведений элементов строки матрицы А на соответствующие элементы столбца матрицы.

Чтобы получить произведение матриц AB необходимо, чтобы количество столбцов матрицы A было равно количеству строк матрицы B.

Транспонирование матрицы осуществляется путем перестановки ее строк и столбцов. Следовательно, результатом транспонирования матрицы m × n будет матрица n × m.

Свойства транспонированной матрицы

(A^T)^T = A

(AB)^T = B^TA^T

(A − 1)^T = (A^T) − 1, если обратная матрица A - 1 существует.

26. Определения определителя и его свойства.

Определителем называется число, которое сопоставляется числовой квадратной матрицей. Если квадратная матрица состоит из буквенных выражений, то определитель есть функция этих букв, построенная по определённому закону.

Свойство определителей:

1. det(AB)= detA* debt

2. detA^T=detA

3. Если элементы какой-либо строки, столбца определителя = 0, то определитель 0

4. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой, каких либо 2-х строк, то определитель матрицы B= - A

5. Общий множитель всех элементов производной строки или столбца можно выносить за знак определителя.

6. Определитель, содержащий 2 пропорциональные строки=0

7. Определитель не измениться, если какую либо строчку умножить на произвольное число и прибавить к другой строке.

8. Если какая-либо строка является линейной комбинацией других строк, то определитель=0

9. Если часть или все строки матрицы линейно зависимы, то определитель = 0

10. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагонали

27. Определения минора и алгебраического дополнения

Минор – определитель, полученный из исходной вычёркиванием i-той строки и j-того столбца.

Алгебраическое дополнение – элемента a_ij определителя называется его минор, взятый со знаком ,,плюс”, если сумма i+j – чётное число, и со знаком ,,минус”, если эта сумма нечётная.

28. Обратная матрица.

Матрица A^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Свойства обратной матрицы

, где det обозначает определитель.

(AB) ^{− 1} = B ^{− 1}A ^{− 1} для любых двух обратимых матриц A и B.

(A^T) ^{− 1} = (A ^{− 1})^T, где * T обозначает транспонированную матрицу.

(kA) − 1 = k ^{− 1}A ^{− 1} для любого коэффициента k не ровно 0

Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A - 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицы

Метод Гаусса. Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A-1.