60. Многочлены с действительными коэффициентами.

Лемма: пусть с₁ и с₂ комплексные числа, тогда:

1. + =

2. * =

Теорема: если многочлен степени n≥2 с действительными коэффициентами имеет комплексный корень с, то он имеет и комплексно-сопряженный .

Можно доказать, что если с=α+βi (β≠0) комплексный корень многочлена кратности k , то многочлен с действительными коэффициентами имеет корень такой же кратности.

Особый интерес представляют многочлены с рациональными коэффициентами. Умножением на число кратное всем знаменателям коэффициент такого многочлена получим многочлен с целыми коэффициентами. Для многочлена с целыми коэффициентами можно находить корень вида (рациональные корни).

Целочисленными корнями многочлена с целыми коэффициентами могут быть только делители свободного члена.

Если а₀≠1,то многочлен можно разделить на а₀ и мы получим многочлен с рациональным коэффициентом.

В этом случае, как и в предыдущем, а будет представлять собой произведение корней с противоположными знаками данного многочлена. В этом случае есть возможность находить рациональные корни по сл. правилу:

Число с= может быть корнем многочлена с рациональным коэффициентом лишь в том и только том случае если р является делителем свободного члена а_n ,а q-делителем старшего коэффициента а₀.