22.Функциональный ряд, его область сходимости. Сумма функционального ряда.

Функциональный ряд, его область сходимости.

Для функциональных рядов вида  можно найти область сходимости, т.е. множество значений х, при подстановке каждого из которых в полученный числовой ряд будет сходящимся.

Для определения области сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера, т.е. найти .

В таком случае значения х, принадлежащие области сходимости, являются решениями неравенства |f(x)|<1. Так как при |f(x)|=1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости числового ряда, решения уравнения |f(x)| =1 нужно рассматривать отдельно.

Сумма функционального ряда

— n-ная частичная сумма.

23.Отыскание области сходимости функционального ряда (пример).

24.Равномерная сходимость функционального ряда. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.

Равномерная сходимость функционального ряда.

Существует функция   такая, что: 

Факт равномерной сходимости последовательности   к функции   записывается: 

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.

Признак Вейерштрасса Пусть для любого x принадлежащего Х выполняется неравенство . Пусть, кроме того, ряд сходится. Тогда ряд сходится на множестве Х абсолютно и равномерно.

Доказательство Достаточно проверить справедливость критерия Коши, то есть доказать, что . Но последнее неравенство следует из того, что а для ряда выполняется критерий Коши, то есть .

25.Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве 

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Последовательность 

функция   непрерывна в точке 

Тогда   непрерывна в  .

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Ряд 

функция   непрерывна в точке 

Тогда   непрерывна в  .

26.Поэлементное интегрирование и дифференцирование равномерно сходящегося ряда.

Интегрирование

функция   непрерывна на отрезке 

на 

Тогда 

дифференцирование.

функция   непрерывно дифференцируема на отрезке 

сходится

равномерно сходится на отрезке 

Тогда   — непрерывно дифференцируема на  ,   на 

27.Степенные ряды. Первая теорема Абеля.

Первая теорема Абеля: Пусть ряд   сходится в точке x₀. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге | x | < | x₀ | и равномерно по x на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при x = x₀, он расходится при всех x, таких что | x | > | x₀ | . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга R (возможно, нулевой или бесконечный), что при| x | < R ряд сходится абсолютно (и равномерно по x на компактных подмножествах круга | x | < R), а при | x | > R — расходится. Это значение R называется радиусом сходимости ряда, а круг | x | < R — кругом сходимости.

28.Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Вторая теорема Абеля. Непрерывность суммы степенного ряда.

Радиус и интервал сходимости степенного ряда

Радиусом сходимости ряда  наз такое число R, что для всех х, |х|<R, степенной ряд абсолютно сходится, я для всех х, |х|>R – расходится. Интервал ]-R;R[ наз интервалом схобимости.

Областью сходимости ряда является интервал (-R, R), В каждой точке этого интервала ряд сходится абсолютно, а на интервалах — расходится

Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости ряда (30.2), a R — его радиусом сходимости. Для некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R= 0), для других — охватывает всю ось OX(R= ). При х= R ряд может и сходиться, и расходиться (вопрос решается для каждого конкретного ряда).

Вторая теорема Абеля

Пусть степенной ряд сходится в точке x = x₀. Тогда он сходится равномерно по x на отрезке, соединяющем точки 0 и x₀.

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра x является предметом изучения теории аналитических функций

Непрерывность суммы степенного ряда