- •Простір елементарних подій. Випадкові події, операції над ними.
- •Імовірності в дискретних просторах елементарних подій.
- •Дати частотне та класичне означення імовірності та вказати властивості імовірностей.
- •Дати геометричне означення імовірності. Задача Бюффона.
- •Центральна гранична теорема.
- •Емпірична функція розподілу.
- •Гістограма та полігон частот.
- •Статистичне оцінювання невідомих параметрів розподілів. Властивості оцінок.
- •Двофакторний дисперсійний аналіз.
- •Аналіз часових рядів. Виділення тренду.
T I T M C _ H A N D B O O K
Простір елементарних подій. Випадкові події, операції над ними.
Стохастичний експеримент – експеримент, який можна повторювати будь-яку кількість разів і наслідки якого не можна передбачити наперед. (наприклад підкидання монети, грального кубика)
(омега велике) – усі можливі наслідки стохастичного експерименту – простір елементарних подій.
– елементарний наслідок або елементарна подія
Операції над подіями:
Доповнення:
Об’єднання: *
* – диз’юнкція – „або”
Перетин/переріз: **
** – кон’юнкція – „і”
Різниця:
Зв’язок між подіями
1. Правило Де-Моргана:
2. (різниця через перетин):
Імовірності в дискретних просторах елементарних подій.
– дискретна множина
має імовірність
Нехай
Дати частотне та класичне означення імовірності та вказати властивості імовірностей.
Нехай є довільний стохастичний експеримент
– частота події А; Скільки разів подія А з’явилася при n повтореннях цього експерименту;
Імовірність
Властивості:
1.
2. – достовірна подія
3. Нехай є дві події А,В, , то
Частотне означення імовірності (або озн. імов. Мізеса)
Якщо існує границя – імовірність події А; при цьому подія А – стохастично стійка.
Недоліки такого означення: (неможливо зробити експериментів); якщо не існує границі – не існує імовірності.
Класичне означення імовірності (XVI-XVII ст.)
Нехай – скінченний простір. ( ) і всі елементарні наслідки рівноможливі ( ); тоді якщо , то
– імовірність довільной події А дорівнює число m події А поділити на загальну кількість точок.
Дати геометричне означення імовірності. Задача Бюффона.
(Евклідовий простір)
, міра – довжина
2х мірний, міра – площа
3х мірний, міра – об’єм
Міра Лебега
Властивості:
1)
2)
3)
Задача Бюффона
Нехай є простір розчерчений паралельними прямими, відстань між прямими – 2а. На цю площину довільним чином кидається голка довжиною 2l. Яка імовірність того, що голка перетне одну з прямих?
(що можна використати для наближенного обчислення )
Аксіоми теорії імовірностей.
Аксіома1:
А2:
А3 (зліченої адитивності):
,
А4 (скінченної адитивності):
Властивості імовірностей.
1)
2)
3)
4)
5) (наслідок 4ї):
6) Теорема додавання імовірностей:
Умовні імовірності. Приклад.
– А при умові В
Формальне означення:
Формула множення імовірностей:
Довести формулу повної імовірності.
– повна група подій, якщо:
1)
2)
Доведення:
Довести формулу Байеса.
Формула Байеса
– апріоні імовірності
– апостеріорні імовірності
Незалежні події. Властивості незалежних подій.
1) А і В – незалежні, якщо
2)
Незалежність в сукупності
називаються незалежними в сукупності, якщо для будь-якого цілого для будь-яких k подій імовірність перетину
Математичне сподівання дискретних випадкових величин.
Математичне сподівання – середнє ймовірнісне значення випадкової величини.
Властивості.
Властивості математичного сподівання:
1. Якщо , то
2.
3.
4.
5.
6. Якщо і – незалежні, то
7. Математичне сподівання функції від випадкової величини:
Дисперсія дискретних випадкових величин. Властивості.
Дисперсія – середньоквадратичне відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання
Властивості дисперсії
1.
2.
3.
4.
5. Якщо і – незалежні, то
Коефіцієнт кореляції випадкових величин. Властивості.
Коефіцієнт кореляції – міра залежності випадкових величин
Властивості:
1. Якщо – незалежні, то
2.
3. – лінійна залежність (найсильніша)
– пряма залежність
– обернена залежність
Зауваження: З того, що не випливає незалежність випадкових величин.
Локальна та інтегральна теорема Муавра-Лапласа та їх застосування.
Локальна теорема Муавра-Лапласа:
Якщо , тоді , де
, де (функція Лапласа)
Інтегральна теорема Муавра-Лапласа:
– інтегральна функція Лапласа
Використовується якщо або (конспект)
Теорема Пуассона та її застосування.
Якщо , то
Використовується якщо (конспект)
Біномінальний розподіл. Обчислити .
n – кількість експериментів
p – імовірність успіху
q – імовірність неудачі
– загальне число успіхів в n експериментах
m – найбільш імовірне число успіхів
Математичне сподівання:
Дисперсія:
Геометричний розподіл. Обчислити .
Імовірність успіху – p, невдачі – q. Експерименти проводяться до першої появи успіху;
– кількість послідовних неудач.
Пуассонівський розподіл. Обчислити .
- додатнє число, параметр розподілу
Функції розподілу випадкових величин. Властивості.
– функція розподілу
Властивості:
1)
2) – неперервна зліва
3) – неспадна:
4)
5) Якщо a, b – точки неперервності F(x), то
6)
якщо а – точка неперервності, то
Щільність випадкових величин. Властивості.
, де щільність неперервної випадкової величини.
Властивості:
1)
2)
3)
4)
Математичне сподівання та дисперсія неперервних випадкових величин.
Математичне сподівання:
Властивості:
1)
2)
3)
4)
5)
6) Якщо і – незалежні, то
Дисперсія:
Рівномірний розподіл на відрізку [a, b]. Обчислити .
Показниковий розподіл. Обчислити .
Нормальний розподіл. Обчислити .
– дзвіноподібна функція
Якщо , , то розподіл стандартний
Нормальний розподіл. Обчислити .
– дзвіноподібна функція
Якщо , , то розподіл стандартний
Довести нерівність Чебишева.
Нерівність Чебишева:
Нехай для існує
Тоді для
Правило 3 : Нехай , тоді
Закон великих чисел. (Теорема Хінчина, теорема Чебишева).
Будь-яке твердження про збіжність середньоарифметичних випадкових величин називається законом великих чисел.
Теорема Хінчина:
Нехай – послідовність незалежних, однаково розподілених випадкових величин (п.н.о.р.в.в.)
Тоді
Теорема Чебишева:
Нехай – п.н.в.в.
Тоді:
Доведення теореми Чебишева: