- •Теория систем и системный анализ
- •6. Общая теория систем м. Месаровича и я. Такахары
- •6.1. Определение системы в отс-мт
- •6.2. Определение динамической системы в отс-мт
- •6.3. Некоторые классы временных систем Безинерционные и инерционные системы
- •Системы без памяти и с памятью
- •Управляемые системы
- •Открытые системы
- •Целенаправленные системы
6.2. Определение динамической системы в отс-мт
Необходимость определения динамической системы появляется тогда, когда требуется рассмотреть последовательность изменений системы во времени. Для этого нужно установить взаимосвязь между значениями объектов системы, относящимися к различным моментам времени.
Временная система S X Y называется динамической системой или допускает динамическое представление тогда и только тогда, когда найдутся два таких семейства отображений
и
что
(а) семейство согласуется с S, т.е. является семейством реакций этой системы;
(в) все функции из семейства удовлетворяют следующим условиям:
() rt(ct, xt) | Tt' = rt'(tt'(ct, xtt'), xt'), где xt = xtt'xt';
() tt'(ct, xtt') = t"t'(tt"(ct, xtt"), xt"t'), где xtt" = xtt"xt"t'.
Функции tt' называются функциями перехода состояний на Ttt', а – семейством функций перехода состояний.
Функция tt' определена лишь для t < t', поэтому далее считается, что
() tt(ct, xtt) = ct для всех t T.
Условие () соответствует свойству согласованности семейства функций переходов состояний с заданным семейством реакций, а условие () – свойству композиции переходов состояний, являющегося полугруппой.
Из полноты описания динамической системы парой ( , ) следует, что если для семейства реакций временной системы существует согласующееся с ним семейство переходов состояний, то оно будет являться семейством реакций динамической системы.
При анализе динамических систем часто рассматривают их движение в пространстве состояний. Однако введенное выше определение состояния не учитывает связи между состояниями одной и той же системы в разные моменты времени. Поэтому необходимо иметь такое множество С, что для каждого t T выполнялось бы равенство Сt = С.
Формально пространство состояний задается следующим образом: пусть S – временная система (S X Y), а С – произвольное множество. Множество С является пространством состояний системы S тогда и только тогда, когда найдутся два таких семейства функций и что
(а) для всех
(в) для всех t, t', t" T
() rt(c, xt) | Tt' = rt'(tt'(c, xtt'), xt');
() tt'(c, xtt') = t"t'(tt"(c, xtt"), xt"t');
() tt(c, xtt) = c;
где – системы с согласованным семейством реакций ;
xt = xtt'xt' и xtt" = xtt"xt"x t'.
В этом случае S называется динамической системой в пространстве состояний С.
Динамическая система S в пространстве состояний С называется полной тогда и только тогда, когда для всех t T выполняется равенство
6.3. Некоторые классы временных систем Безинерционные и инерционные системы
Система является безинерционной, если в любой момент времени t значения ее выходной величины зависят только от текущего значения входного воздействия и состояния, с которого началась ее эволюция. Поэтому, если функция x(t) на какой-то период времени становится постоянной, то постоянной становится и y(t).
Формально безинерционная система задается следующим образом: временная система S X Y является безинерционной тогда и только тогда, когда для любого t T найдется такое отображение Kt : C0 X(t) Y(t), что
Все остальные системы являются инерционными, т.к. в них выходная величина зависит не только от текущего значения входного воздействия, но и от “предыстории” этого воздействия.