9.Теорема о Базисно миноре.

В произвольной матрице A каждый столбец/строка является линейной комбинацией столбцов/строк, в которых расположен базисный минор. Таким образом ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно-независимых строк/столбцов в матрице.

Пример: a={1,2} b={3,4} c={7,10}

1.способ: Формируем матрицу А, размещаем векторы по столбцам/строкам .

A=(1 3 7 ) RangA=2

(2 4 10) M1=1 не=0 M2=-2не=0 a,b –линейно независимые, размерность пространства =2.

По теореме о базисном миноре получаем, что последний столбец является линейной комбинацией векторов, входящих в базисный минор. Найдем α1 и α2 β

10.Теорема Тронеккера-Капелли.

СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы=рангу расширенной матрицы.Если ранг совместной системы=числу неизвестных, то решение единственно, если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Решение произвольной СЛАУ:

1.Находим ранг матрицы А и ранг матрицы Т. Если они не равны то решений нет.

2.Если ранг А=рангу Т то система совместная. Находим какой либо базисный минор порядка r.(Базисный минор-это тот минор, по которому делаем вывод о ранге). Требуется взять r уравнений из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные ур-я отбросить). Неизвестные коэффициенты которых входят в базисный минор называют базисным и оставляют слева , а остальные неизвестные называют свободными и переносят в правую часть уравнений. Далее полагают свободные переменные равными некоторым константам: C1,C2,…,Cm-r и находят выражение базисных неизвестных через эти константы. Так будет получено общее решение системы, куда вписываются все найденные и базисные свободные неизвестные.

11.Общее решение неоднородной слау. Метод Гаусса.

Метод Гаусса: Будем полагать что в системе n-уравнений…

Как правило в методе Гаусса система 1 представляется в форме расширенной матрицы. Очевидно что элементарные преобразования над строками расширенной матрицы соответствуют аналогичным преобразованиям системы. При этом система преобразуется в эквивалентную. Метод Гаусса состоит из 2ух этапов: 1-прямой ход , система с помощью элементарных преобразований над строками приводится к ступенчатому виду (под главной диагональю нули, на главной диагонали единицы). 2этап: обратный ход,из последнего уравнения находим неизвестную и подставляем ее в вышестоящее ур-е. и т.д.

12.Однородные слау. Общее решение однородных слау.

Однородные СЛАУ всегда имеют нулевое (тривиальное) решение.

Если detA не=0 RangA=RangT=3=n решение единственное тривиальное нулевое, Если detA=0 RangA=RangT=2, меньше чем n решений бесчисленное множ-во.

13.Системы координат.Векторы и Линейные операции над ними. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы и длина вектора.

Система координат это совокупность точки начала отсчёта (нач.координат) и некоторого базиса.Как на плоскости так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Декартова система координат

Вектор-направленный отрезок. Проекция вектора М на ось L – это основание перпендикулярное MM1 опущенного на ось L. Если угол между вектором и осью острый то проекция будет с плюсом, если угол тупой то с минусом.