- •16. Равномерное, показательное, нормальное распределения. Их функции распределения.
- •17. Лемма о нормальном распределении. Критерий независимости дискретной и непрерывной св.
- •18. Случайный вектор. Свойства функций распределения случайного вектора.
- •19. Случайный вектор. Свойства плотности распределения
- •20. Функция двух случайных аргументов. Формула свертки.
- •1. События и операции над ними. Относительные частоты и их свойства
- •2. Аксиомы теории вероятностей. Дискретные пространства элементарных исходов. Классическое определение вероятности.
- •3. Элементы комбинаторики. Основные правила.
- •4. Число выборок, свойства сочетаний, геометрические вероятности.
- •5. Свойства вероятности.
- •6.Условная вероятность.Независимость.
- •7.Формула полной вероятности и Байеса.
- •10.Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •9.Теорема Пуассона.
- •8.Схема независимых испытаний Бернулли. Полиномиальное распределение.
- •11. Случайные величины. Функции распределения и их свойства.
- •12. Дискретные случайные величины. Законы распределения биномиальное, геометрическое и Пуассона.
- •13. Мат ожидание дсв и их свойства.
- •14. Дисперсия, свойства. Начальные и центральные моменты.
- •15. Непрерывные случайные величины. Свойства плотности распределения.
- •21. Числовые характеристики 2-х случайных величин.
- •22. Производящие функции и их свойства.
- •23. Характеристические функции и их свойства.
- •Свойство комплекснозначных случайных величин.
- •Свойства характеристических функций.
- •24. Закон больших чисел в форме Чебышева и Бернулли.
- •25. Центральная предельная теорема.
1. События и операции над ними. Относительные частоты и их свойства
Первичным понятием ТВ, неопределяемым через другие понятия, является пространство элементарных исходов Ω. Обычно в качестве пространства элементарных исходов берутся единственно возможные неразложимые результаты эксперимента. Опр. Событием наз. произвольное подмножество А пространства элементарных исходов Ω, т.е. элементарные исходы, из которых состоит событие А, называются благоприятствующими событию А. Говорят, что событие А произошло, если в результате эксперимента наступает элементарный исход w A, т.е. благоприятствующий событию А. Опр. Все пространство элементарных исходов Ω, если его взять в качестве события, наз. достоверным событием, т.е. оно происходит в любом эксперименте (всегда). Опр. Пустое множество (т.е. множество, кот. не содержит ни одного элементарного исхода) наз. невозможным событием, т.к. оно никогда не происходит. Опр. Все остальные события, кроме Ω и , наз. случайными. Операции над событиями. Опр. Суммой событий А и В наз. объединение этих множеств , т.е. событие происходит , когда происходит хотя бы одно из событий А или В. Опр. Произведением событий А и В наз. пересечение множеств (А В), т.е. событие АВ порисходит, когда А и В происходят одновременно. Опр. Разностью событий А и В наз. разность множеств А\В. Событие А\В происходит <=>, когда происходит А и не происходит В.
2. Аксиомы теории вероятностей. Дискретные пространства элементарных исходов. Классическое определение вероятности.
Пусть Ω—пространство элементарных исходов. Предположим, что F—множество всех подмножеств Ω. Опр. Событие—это подмножество Ω, принадлежащее классу F. Любому событию ставится в соответствие действительное число, называемое вероятностью этого события, т.е. так, что при этом выполняются аксиомы ТВ. Аксиома 1 Вероятность любого события неотрицательна . Аксиома 2 Вероятность достоверного события равна 1, т.е. Аксиома 3(счетной аддитивности). Если события и при , то вероятность их суммы равна сумме вероятностей. Опр. Бесконечное множество наз. счетным, если элементы этого множества можно занумеровать натуральными числами. Все другие бесконечные множества называются несчетными. Опр. Пространство элементарных исходов наз. дискретным, если оно конечно или счетно, т.е. или . Любому элементарному исходу ( )ставится в соответствие число так, что при этом .
3. Элементы комбинаторики. Основные правила.
Лемма 1. Из m элементов а1,…,аm первой группы и n элементов b1,…,bn второй группы можно составить ровно m∙n упорядоченных пар вида (аi, bj), содержащих по одному элементу из каждой группы.
Лемма 2. Из n1 элементов первой группы a1, а2,…, аn1, n2 элементов второй группы b1, b2,…, bn2, и т.д. nk элементов k-ой группы x1, x2,…, xnk
можно составить ровно n1∙ n2∙…∙nk различных упорядоченных комбинаций вида , содержащих по одному элементу из каждой группы. Леммы 1 и 2 наз. основными правилами комбинаторики.
4. Число выборок, свойства сочетаний, геометрические вероятности.
Общая таблица числа выбора:
|
|
С возвращением |
|
|
Без возвращения |
упорядоченная |
Неупорядоченная |
Выборка |
Опр. Упорядоченная выборка без возвращения наз. размещением. Число размещений . Опр. Перестановкой из k элементов наз. совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке. Pk-число перестановок из k элементов: . Опр. Произвольное k-элементное подмножество множества из n элементов наз. сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетание—это неупорядоченная выборка объема k из n элементов. Обозначается число всех сочетаний из n элементов по k элементов через : , 0≤k≤n. Свойства сочетаний: 1) ; 2) . Док-во : 3) 4) Док-во: .